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Summation formulae and their relation to Dirichlet’s series. II. (English) JFM 63.0269.02
Teil I s. Compositio math., Groningen, 1, 344-360; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1013.
Für Funktionen \(f(x)\), welche in der Gestalt \[ f(x)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \varphi(s)x^{-s}ds \tag{1} \] darstellbar sind, gibt Verf. folgende Summationsformel an: \[ -\psi(0)f(+0)+\sum_{n=1}^\infty a_nf(n)=(R) +\sum_{n=1}^\infty a_n \left\{-\frac{A(0)\varphi_0}{n}-\theta_n+ \int\limits_0^\infty f(x)\beta(nx)dx\right\}, \] wo \[ \psi(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},\quad A(s)=\frac{\psi(s)}{\psi(1-s)},\quad \beta(y)=\frac1{2\pi i} \int\limits_{\sigma_1-i\infty}^{\sigma_1+i\infty} A(s)y^{s-1}ds, \] und \((R)\), \(\varphi_0\), \(\theta_n\) gewisse, von den Funktionen \(\varphi\), \(\psi\), \(A\) abhängende Zahlen sind (Summen von Residuen). Dabei müssen die Funktionen \(\varphi\), \(\psi\) und \(A\) noch gewissen Bedingungen in bezug auf Regularität und Anwachsen genügen.
Falls man für \(\psi(s)\) die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion nimmt, erhält man als Spezialfall die Poissonsche Summationsformel, die allerdings einen größeren Gültigkeitsbereich hat, weil die Darstellung (1) nicht zu gelten braucht.

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Full Text: EuDML