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Über die Anwendung differentialgeometrischer Methoden zur Untersuchung von Überlagerungsflächen. (German) JFM 63.0301.01
Acta Soc. Sci. Fennicae A (2) 2, Nr. 6. 17 S. (1937).
In der vorliegenden Arbeit zeigt Verf. einen neuen Zugang zu den Sätzen der Wertverteilungslehre, die dabei wieder, wie schon in einer früheren Arbeit des Verf. (Acta math., Uppsala, 65 (1935), 157-194; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 365) in erheblicher Verallgemeinerung auftreten, wobei diesmal das Hereinspielen differentialgeometrischer Begriffe wesentlich ist.
Der erste Hauptsatz erscheint in Form der Gleichung \[ S_0(W)=S(W)+\frac{1}{2\pi }\int\limits_{\varGamma }\displaystyle \frac{\partial }{\partial n}p(w)\,ds. \] Hier bedeuten \(S_0(W)\) und \(S(W)\) die mittlere Blätteranzahl der endlichen Überlagerungsfläche \(W\) mit dem Rand \(\varGamma \) über der geschlossenen Grundfläche \(W_{0}\), wobei jedes Flächenstück \(\varOmega \) mit einem Gewicht \(S_0(\varOmega )\) bzw. \(S(\varOmega )\) gezählt wird, das als additive Mengenfunktion auf der Grundfläche mit \(S(W_0) = S_0(W_0) = 1\) gegeben ist; \(p(w)\) ist ein gewisses Potential der Differenz dieser beiden Belegungen. Ist \(W_{0}\) die Kugel, \(S_0(\varOmega )\) der durch \(\pi \) dividierte Flächeninhalt von \(\varOmega \) in der natürlichen Metrik der Kugel, während \(S\) durch einen einzigen Massenpunkt repräsentiert wird, so wird man durch Anwendung der Formel auf die Bilder \(W_{r}\), die eine meromorphe Funktion von \(|\,z\,|\leqq r\) entwirft und Integration nach \(\dfrac{dr}{r}\) genau auf den ersten Hauptsatz in der vom Verf. in einer früheren Arbeit (Comment. phys. math. Soc. Sci. Fennica 8 (1935), Nr. 10; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 334) gewonnenen Form geführt.
Die differentialgeometrische Methode setzt beim zweiten Hauptsatz ein, der aus einer Verallgemeinerung der Gauß-Bonnetschen Integralformel folgt. Auf der Grundfläche wird eine gegenüber konformer Abbildung invariante Metrik eingeführt: \(ds^2=\lambda ^2\,|\,dw\,|^2\) (\(w\): irgend ein lokaler Parameter der Fläche); ihre Gaußsche Krümmung ist \[ K=-\frac{\varDelta \,\log\,\lambda }{\lambda ^2}, \] der geodätische Kontingenzwinkel einer Kurve: \[ d\tau =d\theta +\frac{\partial }{\partial n}\log\,\lambda \,ds, \] wenn \(d\theta \) den Kontingenzwinkel der Kurve in einer beliebigen Parameterdarstellung der Fläche bezeichnet. \(K\) und \(d\tau \) sind invariant gegenüber konformen Abbildungen. Der Gauß-Bonnetsche Satz für eine endliche Überlagerungsfläche \(W\) mit Rand \(\varGamma \), der Charakteristik \(\varrho \) und der Verzweigungszahl \(n_1\) lautet dann: \[ \textstyle \iint\limits_{W}K\,d\omega =(n_1-\varrho )\,2\pi -\int\limits_{\varGamma }d\tau, \] wobei die auftretenden Integrale dadurch erklärt sind, daß die Metrik auf die Überlagerungsfläche übernommen wird. \[ K(\varOmega )=-\frac{1}{2\pi }\iint\limits_{\varOmega }K\,d\omega \] ist nun eine additive Mengenfunktion auf der Grundfläche mit der Gesamtmasse \(\varrho _0=\) Charakteristik von \(W_{0}\); auf sie lassen sich die Überlegungen, die vorhin zum ersten Hauptsatz führten, anwenden, und man kann dadurch \(\iint\limits_{W}K\,d\omega \) eliminieren, indem man das Potential der Belegung \(\varkappa (\varOmega )-\varrho _0S_0(\varOmega )\) einführt. Zum zweiten Hauptsatz gelangt man, indem man der Metrik gewisse Singularitäten an \(q\) Punkten \(\mathfrak a_1\),…, \(\mathfrak a_q\) der Grundfläche erteilt. So erhält man schließlich \[ (q+\varrho _0)\,S_0(W)=\varrho +\textstyle \sum\limits_{1}^{q}n(\mathfrak a_\nu )-n_1+\displaystyle \frac{1}{2\pi }\int\limits_{\varGamma }\biggl(d\tau +\frac{\partial p}{\partial n}\,ds\biggr). \] Hier ist \(n(\mathfrak a_\nu )\) die Anzahl der (mit entsprechender Vielfachheit gezählten) Punkte von \(W\) über \(\mathfrak a_\nu \), \(n_{1}\) die Anzahl der Verzweigungspunkte von \(W\), \(p\) das vorhin erwähnte Potential. Wird diese Formel auf \(W_{r}\) angewandt und nach \(\dfrac{dr}{r}\) integriert, so folgt der zweite Hauptsatz, wenn man das von dem Integral über \(\varGamma \) herrührende Glied nach oben abschätzt. In ähnlicher Weise lassen sich auch die “Scheibensätze” (vgl. die oben zitierte Acta-Arbeit des Verf.) gewinnen.