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Funktionalrelationen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen. II: Reihenentwicklungen. (German) JFM 63.0325.02
In Teil I (Math. Z. 42 (1936), 125-143; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 417) hatte Verf. u. a. das Laplacesche Bild der mit Whittakers \(M\)-Funktion eng zusammenhängenden \(N\)-Funktion gefunden. Mit seiner Hilfe summiert er hier nach bekanntem Übertragungsverfahren in geschlossener Form Reihen, die nach den \(N\) fortschreiten und eine der drei folgenden Gestalten haben: \[ \displaylines{\indent (1)\quad{\sum\limits_{r=0}^{\infty}}a_rN_{k+r,m}(t),\hfill (2)\quad{\sum\limits_{r=0}^{\infty}}a_rN_{k,m+r}(t),\hfill (3)\quad{\sum\limits_{r=0}^{\infty}}a_rN_{k+\frac r2,m+\frac r2}(t).} \] Hierin sind die \(a_r\) von \(t\) unabhängig; in (1) bleibt \(m\), in (2) \(k\), in (3) \(k-m\) bei der Summierung fest. Hinsichtlich der Konvergenz verhalten sich (1) wie eine trigonometrische Reihe, (2) und (3) wie Potenzreihen. – Verf. behandelt hauptsächlich folgende Fälle:
(A) Die Reihe (1) (unter Änderung von \(k\), \(m\) in \(k + \nu\), \(m + \nu\)) mit \[ (1.\,1)\quad a_r=\frac{(2\nu)_r}{r!},\quad (1.\,2)\;a_r=\frac{(2\nu)_r}{r!}x^r\quad \left((p)_r=\dfrac{\varGamma(p+r)}{\varGamma(p)}\right); \] ferner – in diesem einen Falle sei das Ergebnis vollständig wiedergegeben - \[ \displaylines{\rlap{\indent(1.\,3)}\hfill {\sum\limits_{r=0}^{\infty}}\frac{x^r}{r!}\,N_{k+r,m}(t)= e^xx^{\frac12-\nu}N_{k-\nu,m-\nu}(t){*}t^{\nu-\frac12}e^{-\frac12t}J_{2\nu-1} (2\sqrt{xt}), \hfill} \] was für alle beliebigen komplexen \(x\) und ebensolchen \(t\neq0\) gilt, wenn \[ \mathfrak R\,m+\tfrac12>\mathfrak R\,\nu>0, \]
(B), (C) Reihen (2), (3) mit \[ a_r = \frac1{r!}x^r,\quad a_r=\frac{(2\nu)_r}{r!}x^r. \] Die Fülle von Entwicklungen, die bei Sonderwerten von \(k\), \(m\) in Laguerreschen und Hermiteschen Polynomen, Batemanschen Funktionen, in Funktionen des parabolischen Zylinders und Besselschen Funktionen entstehen, kann hier nur erwähnt, nicht vorgeführt werden.

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