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Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen. (German) JFM 63.0329.01
V + 137 S. Leipzig, B. G. Teubner (1937).
Anders als in den bisher üblichen Darstellungen geht Verf. direkt von partikulären Lösungen der Wellengleichung aus und baut die Zylinderwellen nach dem Superpositionsprinzip auf, zunächst aus Kugelwellen, deren Pole längs der \(z\)-Achse angeordnet sind. Unter Benutzung mehrfacher Pole erhält er so die Sommerfeldsche Integraldarstellung der Hankelschen Funktionen mit ganzzahligem Index. Um die allgemeine Sommerfeldsche Darstellung für beliebigen Index zu gewinnen, geht er von ebenen Wellen aus, deren Normalen auf der \(z\)-Achse senkrecht stehen, wobei die bereits gewonnenen Resultate als Richtschnur dienen. Dann werden das funktionentheoretische Verhalten untersucht, die Umlaufsrelationen abgeleitet und die Potenzreihenentwicklung aus der Integraldarstellung gefolgert.
Anschließend werden die asymptotischen Entwicklungen gegeben, die im wesentlichen aus dem Watsonschen Lemma durch passende Umformung des Integranden gewonnen werden; zunächst die Hankelschen Reihen, welche nur für den Fall brauchbar sind, daß das Argument groß gegenüber dem Index ist. Diese Lücke wird geschlossen durch die Reihen von Debye und die Formeln von Nicholson und Watson. Die ersteren werden – auch im Falle \(\dfrac px>1\) – auf das Watsonsche Lemma zurückgeführt. Es folgen die Integraldarstellungen vom Poissonschen Typ, welche eine schärfere Restabschätzung bei den Hankelschen asymptotischen Reihen liefern. Dann werden aus der Sommerfeldschen Darstellung die Beziehungen zwischen Zylinderfunktionen von verschiedenem Index abgeleitet. In einem weiteren Abschnitt wird der Funktionsverlauf diskutiert – insbesondere die Lage der Nullstellen – und die Weierstraßsche Produktdarstellung angegeben. Es folgen noch einige nützliche Bemerkungen über die näherungsweise Berechnung der Funktionen durch Kombination der Potenzreihen mit den asymptotischen Reihen. Weiterhin werden mit den Besselschen Funktionen verwandte Funktionen betrachtet, so z. B. die Funktionen, die durch Verallgemeinerung der Besselschen Integraldarstellung auf beliebigen Index entstehen. Aus der Darstellung einer ebenen Welle mit Hilfe Besselscher Funktionen wird die Darstellung von Zylinderwellen mit beliebiger paralleler Achse gefolgert, woraus sich die Additionstheoreme ergeben. Schließlich ist noch dem Kapitel der Randwertaufgaben, Fourierschen Reihen und Integralen mit Besselschen Funktionen ein längerer Abschnitt gewidmet, welchem einige Beispiele aus den Anwendungen beigefügt sind, so die Schwingungen des frei herabhängenden Seiles, einer kreisförmigen Membran, Skineffekt, Wärmeleitung im Zylinder und über die Knicklänge einer vertikalen Säule.
Die Art und Weise, wie Verf. die Zylinderfunktionen einführt, ist äußerst übersichtlich und hat vor allem den Vorzug, in natürlicher Weise die so wichtigen Integraldarstellungen unmittelbar zu liefern, aus denen sich dann die meisten übrigen Resultate unschwer ableiten lassen.
Besprechungen: A. Buhl, Enseign. math. 36 (1937), 415-416; G. Feigl, Deutsche Math. 2 (1937), 373-374.