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An integral equation satisfied by the Lame’s functions. (English) JFM 63.0337.06

Als Weiterführung eines Ansatzes von Whittaker (Proc. London math. Soc. (2) 14 (1915), 260-268; F. d. M. 45, 493 (JFM 45.0493.*)-494) bildet Verf. in Weierstraß’ Bezeichnung die der Differentialgleichung \[ \frac{d^2z}{dv^2}-2n\frac{\wp''(v)}{\wp'(v)}\frac{dz}{dv}+\big((8n^2-4n)\wp(v)+ B)\big)=0\qquad(n=1,2,\dots) \tag{1} \] entsprechende lineare Integralgleichung. Wird der Parameter \(B\) nach Lamé algebraisch eingeschränkt, so verbleiben als Lösungen von (1) die Laméschen Funktionen “erster” Art \(z = E_n^m (v)\) (\(m = 1\),…\(2n + 1\)), und für diese gilt mit \(\dfrac{\partial \lambda}{\partial u} = 0\) \[ E_n^m(u)=\lambda{\int\limits_{\alpha}^{\alpha+4\omega_1}} dv E_n^m (v) F (u, v). \tag{2} \] Der in \(u\), \(v\) symmetrische Kern \(F\) ist analytisch für \(u\not\equiv0\) (\(\bmod 2\omega_1,2\omega_2\)) und bestimmt durch \[ F(u,v)=\wp'\left(\dfrac{u}{2}\right)^{-n}\wp'\left(\dfrac{v}{2}\right)^{-n} \left\{1-\frac{\left(\wp\left(\dfrac{u}{2}\right)-e_2\right) \left(\wp\left(\dfrac{v}{2}\right)-e_2\right)}{(e_1-e_2)(e_3-e_2)}\right\}^{2n} \] Noch zu verknüpfen wäre dies mit der Darstellung solcher Kerne durch Kugelfunktionen bei E. T. Copson (Proc, Edinburgh math. Soc. (2) 1 (1927), 62-64; F. d. M. 53, 339) (IV 6 B.)

Citations:

JFM 45.0493.*
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