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An integral equation satisfied by Lame’s functions whose order is half of an odd integer. (English) JFM 63.0338.01

Von den Lösungen linearer Integralgleichungen mit analytischem Kern hat Verf. in der vorstehend besprochenen Note gewisse Fälle erledigt entsprechend der Differentialgleichung \[ \frac{y''}y=B+(n^2 + n)\wp(u) \] mit algebraischem \(B\) und \(n\equiv 0\;(1)\).
Der von Halphén hervorgehobene kompliziertere Fall \(2n\equiv 0\;(1)\) läßt hypergeometrische Funktionen in den Kern eingehen. Mit Weierstraß’ Bezeichnungen, \[ \dfrac{\partial \lambda}{\partial u}=0,\quad\alpha\not\equiv0\,(\bmod2\omega_1, 2\omega_2) \] und \[ \displayindent=-2.5em \left(\wp\left(\dfrac{u}{2}\right)-e_2\right)^{n+\frac12} \left(\wp\left(\dfrac{v}{2}\right)-e_2\right)^{n+\frac12} F\left\{-n+\frac12,1,n+\frac32; \frac{\left(\wp\left(\dfrac{u}{2}\right)-e_2\right) \left(\wp\left(\dfrac{v}{2}\right)-e_2\right)}{(e_2-e_1)(e_3-e_2)} \right\}=K(u,v) \] gilt z. B. die homogene Integralgleichung \[ y (u)=\lambda{\int\limits_{\alpha}^{\alpha+4\omega}} dv y (v) K (u, v) \left(\wp'\dfrac{u}{2}\right)^{-n}\left(\wp'\dfrac{v}{2}\right)^{-n}. \]
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