van Heemert, A. Topologische Gruppen und unzerlegbare Kontinua. (German) JFM 63.0343.02 Compositio math., Groningen, 5, 319-326 (1937). Eine topologische Gruppe, die kommutativ, kompakt und zusammenhängend ist, heiße \(k\)-Gruppe. Verf. zeigt: Die einzigen \(k\)-Gruppen, die unzerlegbare Kontinua sind, sind die eindimensionalen nicht ausgearteten Solenoide (für die Definition s. van Dantzig, Fundam. Math., Warszawa, 15 (1930), 102-125; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 1130). Anders ausgedrückt: Dann und nur dann ist eine \(k\)-Gruppe unzerlegbares Kontinuum, wenn sie eindimensional und nicht lokal zusammenhängend ist. – Verf. bedient sich beim Beweis der \(G_n\)-adischen Erzeugung der Solenoide aus Torusgruppen (vgl. Freudenthal, Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen, Compositio math., Groningen, 4 (1937), 145-234 (F. d. M. 63), S. 232-233, wo auch der Satz ohne Beweis ausgesprochen wird). Die Aussage über das Nicht-Auftreten unzerlegbarer Kontinua im mehrdimensionalen Fall wird verallgemeinert: Ist der Raum \(R\) \(R_n\)-adischer Limes von lokal euklidischen, kompakten, zusammenhängenden Räumen \(R_1\), \(R_2\),…und sind die Abbildungen der \(R_n\), die die \(R_n\)-adische Entwicklung definieren, im kleinen topologisch, so ist \(R\) niemals ein unzerlegbares Kontinuum, wenn die Dimension von \(R\) mindestens 2 ist. Dabei ist, wenn (wie bei der Erzeugung der Solenoide) alle \(R_n\) \(m\)-dimensional sind, die Dimension von \(R\) ebenfalls \(m\). Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin) Cited in 1 Document JFM Section:Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Topologische Gruppen, kontinuierliche Gruppen. Differentialinvarianten, Integralinvarianten. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML