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Lineare halbgeordnete Räume. (German) JFM 63.0353.01
Zusammenschrift früherer Arbeiten des Verf. (hauptsächlich C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, n. Ser. 1935, No. 4, 13–16 (1935; JFM 61.0434.02, Zbl 0013.16803); 1936, No. 1, 283–286 (1936; JFM 62.0459.03, Zbl 0014.06702); 1936, No. 2, 7–10 (1936; JFM 62.1233.04, Zbl 0014.05601); 1936, No. 3, 9–14 (1936; JFM 62.1233.05, Zbl 0015.02403); C. R. Acad. Sci., Paris 202, 813–816 (1936; JFM 62.0459.02, Zbl 0013.26804)). Eine (additiv geschriebene) Gruppe \(Y\) von Elementen \(y\) heißt halb geordnet, wenn für gewisse \(y\) die Beziehung \(y>\theta\) (\(\theta\) ist das Nullelement von \(Y\)) definiert ist, und wobei gilt: (I) Aus \(y > \theta\) folgt \(y\neq\theta\). (II) Aus \(y_1 > \theta\), \(y_2 > \theta\) folgt \(y_1 + y_2 > \theta\). (III) Zu jedem \(y\) gibt es mindestens ein \(y'\) derart, daß \(y'\geqq\theta\) und \(y'-y\geqq\theta\). (\(\text{III}_1\)) Unter den in (III) genannten Bedingungen genügenden \(y'\) gibt es eines, \(y^*\), so daß für alle solchen \(y'\) stets \(y' - y^*\geqq\theta\). Das Element \(y^* + (-y)^*\) von \(Y\) heißt “absolute Größe”, \(|y|\), von \(y\). Ist überdies \(Y\) ein Vektorraum, d. h. \(\lambda y\) für reelles \(\lambda\) ein Element von \(Y\), so wird noch hinzugenommen: (IV) Aus \(y > \theta\), \(\lambda > 0\) folgt \(\lambda y > \theta\). Es gilt: Zu jeder endlichen Teilmenge \(M\) gibt es in \(Y\) eine kleinste obere Schranke von \(M\), das sup \(M\). (V) Die Gruppe oder der Vektorraum \(Y\) heißt topologisch, wenn zu jeder beliebigen Teilmenge \(M\) das sup \(M\) existiert, (\(\text{III}_1\)) ist Folge von (I), (II), (III), (V). Man kann jetzt den oberen und unteren Limes einer Elementenfolge \(\{y_n\}\) und damit auch den Limes selbst einführen. Es gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium in der klassischen Form. (VI) Ein topologischer halbgeordneter Vektorraum \(Z\) heißt regulär, wenn aus jeder Menge \(E_n\) einer Folge \(\{E_n\}\) von Teilmengen von \(Z\) mit \(\lim (\sup E_n) = z_0\) eine endliche Teilmenge \(E_n'\subset E_n\) ausgegriffen werden kann, so daß ebenfalls \(\lim (\sup E_n') = z_0\). Jetzt gilt die klassische Definition der Konvergenz: Aus \(\lim z_n = z\) folgt die Existenz eines \(\overline{z}\) und einer Funktion \(N(\varepsilon)\), \(\varepsilon > 0\), so daß \(|z_n - z| < \varepsilon\overline{z}\), sobald \(n >N(\varepsilon)\), und umgekehrt. \(Z\) ist ein topologischer Raum, und daher ist in \(Z\) noch eine zweite Art der Konvergenz (im Sinne der Umgebungen) erklärt. Weiter untersucht Verf. Räume, in denen neben den Axiomen I–IV und V (für abzählbare \(M\)) noch eine Metrik oder Norm besteht. Die allgemeine Theorie wird ausführlich an konkreten Beispielen erprobt, an Räumen, deren Elemente meßbare Funktionen, oder Funktionen beschränkter Variation, oder Funktionen sind, die einer Lipschitzschen Bedingung genügen.

MSC:
46A40 Ordered topological linear spaces, vector lattices
06F20 Ordered abelian groups, Riesz groups, ordered linear spaces
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Full Text: MNR