A note on abstract polynomials in complex spaces. (English) JFM 63.0358.03

Highberg, I. E.

J. Math. pur. appl. (9) 16, 307-314 (1937).

Es bezeichne \(E\) (und \(E'\)) einen “algebrophilen” Raum im Sinne von Fréchet (J. Math. pur. appl. (9) 8 (1929), 71-92; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 242). Nach Fréchet heißt eine Funktion \(f (x)\) auf \(E\) mit Werten aus \(E'\) ein Polynom, wenn für ein gewisses \(n\) die \(n\)-te Differenz verschwindet; nach Michal und Martin heißt \(f (x)\) ein Polynom, wenn \(f (x)\) stetig und \(f(x + \varrho y)\) für jedes Paar \(x,\, y\subset E\) ein Polynom in \(\varrho\) ist. Hat man in \(E\) nur Multiplikation mit reellen Zahlen (\(\varrho\) reell), so sind beide Definitionen gleichwertig. Um die Gleichwertigkeit auch für den Fall, daß in \(E\) Multiplikation mit komplexen Zahlen definiert ist, aufrechtzuerhalten, muß man zur Fréchetschen Definition noch die Existenz des Gateauxschen Differentials \[ \lim_{\sigma\to0}\frac{f(x + \sigma y)-f(x)}\sigma = f'(x;y) \] (\(\sigma\) komplex) für alle \(x,\,y\subset E\) hinzunehmen.

Reviewer: Aumann, G., Prof. (Frankfurt am Main)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Funktionalanalysis. A. Räume von unendlich vielen Dimensionen. Allgemeine Funktionale.