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Elementary proofs of some known theorems of the theory of complex euclidean spaces. (English) JFM 63.0366.03
Neue elementare Beweise von wohlbekannten Sätzen in der Theorie der linearen Operatoren in einem komplexen euklidischen Raume \(L\). Erwähnt seien hier die folgenden: (1) Wenn für die Folge \(\{g_n\}\) in \(L\), \(\{(f, g_n)\}\) für jedes \(f\in L\) beschränkt ist, dann ist \(\{(g_n)\}\) beschränkt. (2) Wenn \((f, g_n)\) für jedes \(f\in L\) konvergent ist, dann existiert ein \(g \in L\), so daß \((f, g_n) \to (f, g)\). (3) Für einen Operator \(A\), der \(L\) als Bereich besitzt, sind, folgende Aussagen äquivalent: (a) \(A\) ist linear und abgeschlossen; (b) der Bereich des adjungierten Operators \(A^*\) liegt in \(L\) dicht; (c) \(A\) ist beschränkt und linear. (4) Für eine unendliche Matrix \(\{a_{mn}\}\) sind folgende Behauptungen äquivalent:
\line\rlap\indent(a)\hss \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^N \left|\sum\limits_{\nu=1}^N a_{\mu\nu}x_\nu\right|^2 \leqq a^2 \sum\limits_{\nu=1}^N |x_\nu|^2\),\hss \line\rlap\indent(b)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  folgt  \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^\infty\left|\sum\limits_{\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\right|^2<\infty\),\hss \line\rlap\indent(c)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  und  \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|y_\nu|^2<\infty\)\hss
folgt die Konvergenz von \(\displaystyle\sum\limits_{\mu,\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\overline y_\mu\),
\line\rlap\indent(d)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  und  \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|y_\nu|^2<\infty\)\hss
folgt die Konvergenz von \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^\infty\left(\sum\limits_{\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\right)\overline y_\mu\).
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