Elementary proofs of some known theorems of the theory of complex euclidean spaces. (English) JFM 63.0366.03

Stone, M. H.; Tamarkin, J. D.

Duke math. J. 3, 294-302 (1937).

Neue elementare Beweise von wohlbekannten Sätzen in der Theorie der linearen Operatoren in einem komplexen euklidischen Raume \(L\). Erwähnt seien hier die folgenden: (1) Wenn für die Folge \(\{g_n\}\) in \(L\), \(\{(f, g_n)\}\) für jedes \(f\in L\) beschränkt ist, dann ist \(\{(g_n)\}\) beschränkt. (2) Wenn \((f, g_n)\) für jedes \(f\in L\) konvergent ist, dann existiert ein \(g \in L\), so daß \((f, g_n) \to (f, g)\). (3) Für einen Operator \(A\), der \(L\) als Bereich besitzt, sind, folgende Aussagen äquivalent: (a) \(A\) ist linear und abgeschlossen; (b) der Bereich des adjungierten Operators \(A^*\) liegt in \(L\) dicht; (c) \(A\) ist beschränkt und linear. (4) Für eine unendliche Matrix \(\{a_{mn}\}\) sind folgende Behauptungen äquivalent:
\line\rlap\indent(a)\hss \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^N \left|\sum\limits_{\nu=1}^N a_{\mu\nu}x_\nu\right|^2 \leqq a^2 \sum\limits_{\nu=1}^N |x_\nu|^2\),\hss \line\rlap\indent(b)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  folgt  \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^\infty\left|\sum\limits_{\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\right|^2<\infty\),\hss \line\rlap\indent(c)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  und  \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|y_\nu|^2<\infty\)\hss
folgt die Konvergenz von \(\displaystyle\sum\limits_{\mu,\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\overline y_\mu\),
\line\rlap\indent(d)   aus\hss \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|x_\nu|^2<\infty\)  und  \(\displaystyle\sum\limits_1^\infty|y_\nu|^2<\infty\)\hss
folgt die Konvergenz von \(\displaystyle\sum\limits_{\mu=1}^\infty\left(\sum\limits_{\nu=1}^\infty a_{\mu\nu}x_\nu\right)\overline y_\mu\).

Reviewer: Lorch, E. R., Dr. (New York, USA)