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Introduction to the theory of Fourier integrals. (English) JFM 63.0367.05
X\({} + {}\)399 p. Oxford, At the Clarendon Press (1937).
Das Buch enthält eine ziemlich vollständige Darstellung der modernen Theorie der Fourier-Transformation \[ F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ixt}f(t)\,dt. \] Von solchen Dingen, die sich für eine buchmäßige Darstellung eignen, vermißt man nur die Sätze Tauberscher Art. Bei der Ableitung der Ergebnisse bevorzugt der Verf. generell die Methode, die Zusammenhänge zunächst rein formal, d. h. ohne Berücksichtigung von Konvergenz, usw. aufzuzeigen und dann erst den exakten Beweis zu geben, was für denjenigen, der die Dinge erst kennen lernen soll, angenehm ist. Im einzelnen ist das Buch folgendermaßen in elf Kapitel gegliedert:
I. Formale Betrachtung des Fourierschen Integraltheorems, der Fourier-Transformation und der eng damit zusammenhängenden Laplace- und Mellin-Transformation. Die klassische Theorie, die mit Konvergenz im strengen Sinn und mit Summabilität arbeitet.
II. Die Parsevalsche Gleichung und die “Faltung” von Funktionen; zunächst die formalen Zusammenhänge, dann Behandlung im Sinne der in I entwickelten Theorie.
III. Die Plancherelsche Theorie, die sich auf Funktionen der Klasse \(L^2\) bezieht. Es werden die meisten der heute bekannten Ableitungen dieser Theorie gegeben.
IV. Die Titchmarshsche Theorie, die die Transformation von Funktionen der Klasse \(L^p\) (\(1 p \leqq 2\)) behandelt.
V. Das zu einem Fourier-Integral konjugierte Integral. Ausführliche Darstellung der Theorie der Hilbert- (oder Stieltjes-) Transformation \[ g(x)=\frac1\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{t-x}\, dt \] in den Klassen \(L^2\) und \(L^p\).
VI. Die Frage der Eindeutigkeit und die allgemeinere Frage, wann ein trigonometrisches Integral ein Fouriersches ist. Die Größenordnung von Fourier-Transformierten.
VII. Beispiele von Fourier-, Mellin- und Laplace-Transformierten.
VIII. Die Theorie der “general transforms” (involutorischen Transformationen) von Watson, unter die die Fourier-Transformation fällt. Die Beweise werden nach den von Titchmarsh und I. Busbridge benützten Methoden gegeben, die wohl übersichtlichste Methode, die von Doetsch (Math. Ann. 113 (1936); 226-241, 665-676; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 469, 470) entwickelt wurde, ist noch nicht berücksichtigt. – Die Resultante (eine gewisse Faltung) zweier Fourier-Kerne. – Die in Richtung der klassischen Theorie liegenden Untersuchungen von Hardy und Titchmarsh über die Hankel-Transformation.
IX. Selbst-reziproke Funktionen, hauptsächlich hinsichtlich der Fourierschen cos-Transformation.
X. Die Behandlung von Differential- und Differenzengleichungen vermittels der Fourier-Transformation. Verf. geht darauf aus, die Bedingungen so zu wählen, daß der ganze Prozeß a priori legitimiert ist. Das geht allerdings nur unter sehr engen Voraussetzungen, z. B. daß die Lösungen ganze Funktionen vom Exponentialtyp sind.
XI. Lösung von Integralgleichungen “vom Faltungstyp” vermittels Fourier-Transformation. Sie beruht in bekannter Weise darauf, daß Faltungen in Produkte übergeführt werden. Es werden sehr viele einzelne Beispiele durchgerechnet.