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Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. (German) JFM 63.0368.01
XVI\({} + {}\)436 S. 18 Fig. Berlin, J. Springer (1937).
In diesem Buch – dessen Veröffentlichung sicher als ein Ereignis in der Geschichte der Funktionalrechnung bewertet werden wird – wird eine Fülle von wichtigen, aber bis jetzt weniger bekannten mathematischen Dingen zum erstenmal in Buchform und in systematischer Weise zur Verfügung der mathematischen Welt gestellt.
Es handelt sich um die allgemeine Theorie (Teil I, Kap. 1-8) und die hauptsächlichen Anwendungen (Teil II-V, Kap. 9-25) der Laplace-Transformation: einer wichtigen (vielleicht der wichtigsten) Funktional-Transformation, welche hier meistens im engeren Sinne, d. h. unter der Gestalt \[ f(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st}F(t)\,dt \equiv \mathfrak L\{F(t)\} \tag{1} \] betrachtet wird. (Wenn das Integral dagegen von \(-\infty\) bis \(\infty\) erstreckt ist, heißt die Transformation zweiseitig.)
Nach einer Einordnung der hier zu behandelnden Fragen in den weiteren Rahmen der Funktionalanalysis (1. Kap.) und einer historischen Übersicht (2. Kap.), beschäftigt sich Verf. zuerst (3. Kap.) mit der Abgrenzung des zugrunde zu legenden Objekt-Funktionsbereiches \(F\) (“\(L\)-Funktionen”) und nachher (4. und 5. Kap.) mit den wichtigsten funktionentheoretischen Eigenschaften der entsprechenden Resultat-Funktionen \(f\) (“\(l\)-Funktionen”), darunter z. B. mit der, daß das Laplace-Integral (1) – wenn nicht überall oder nirgendwo – in einer gewissen Halbebene \(\operatorname{Re} (s) > \beta\) konvergiert, und eventuell für \(\operatorname{Re} (s) > \alpha \geqq\beta\) sogar absolut.
Kapitel 6 und 7 sind der schwierigen Frage der Umkehrung der \(\mathfrak L\)-Transformation gewidmet, welche manchmal – aber nur manchmal – durch das komplexe Integral \[ F(t) = \frac1{2\pi i} \int\limits_{\varkappa-i\infty}^{\varkappa+i\infty} e^{st}f(s)\,ds, \tag{2} \] wo \(\varkappa\) eine reelle, in gewissen Grenzen willkürliche Konstante bedeutet, verwirklicht werden kann. Verf. lenkt aber ausdrücklich die Aufmerksamkeit des Lesers darauf, daß die Konvergenz des letzten Integrals keine hinreichende Bedingung für die Zulässigkeit der Umkehrformel (2) darstellt. Diese ziemlich paradoxe Tatsache – welche früher manche Fehler und Unzulänglichkeiten verschuldet hat – ist vom Verf. selbst (im Jahre 1931) damit restlos erklärt worden, daß die “Mellinsche” Formel (2) eigentlich die Umkehrung der zweiseitigen und nicht der einseitigen \(\mathfrak L\)-Transformation (1) darstellt. Für andere Umkehrmethoden siehe das Kapitel 7 des Buches.
Im 8. Kapitel beschäftigt sich Verf. mit den Eigenschaften, von denen großenteils die Wichtigkeit und die Anwendungsmöglichkeit der \(\mathfrak L\)-Transformation herrühren. Es handelt sich hauptsächlich um die Abbildung der Differentiation – welcher, wie die wohlbekannten Grundformeln \[ \mathfrak L\left\{\frac{dF}{dt}\right\}=s\mathfrak L\{F(t)\}-F(0),\quad \mathfrak L\{tF(t)\} = -\frac{d\;}{ds}\mathfrak L\{F(t)\} \tag{3} \] zeigen, im wesentlichen die Multiplikation mit der Variablen \(s\) oder \(t\) entspricht -und den Faltungssatz, d. h. um die Tatsache, daß die Faltung zweier Objekt-Funktionen \(F_1(t)\) und \(F_2(t)\): \[ F_1 (t) \kern0.2em\mathop{\hbox{---\kern-0.75em{\(\setminus\)}\llap/}}\kern0.3em F_2 (t) = \int\limits_0^t F_1 (\tau) F_2 (t-\tau)\, d\tau \tag{4} \] unter gewissen Bedingungen (deren Klärung teilweise Verdienst des Verf. selbst ist) sich auf das gewöhnliche Produkt \(f_1 (s) f_2 (s)\) der entsprechenden Resultat-Funktionen abbildet.
Mit Teil II des Buches (9. Kap.) sind wir schon im Gebiet der Anwendungen angelangt: Verf. zeigt dort nämlich, wie leicht man manche, sonst nicht so naheliegende Reihenentwicklungen einer \(l\)-Funktion, aus einer schon bekannten Reihenentwicklung der entsprechenden \(L\)-Funktion herauslesen kann oder umgekehrt.
Viel schwieriger und nicht in wenige Zeilen zusammenfaßbar ist dagegen der Inhalt des Teils III (10.-14. Kap.), welcher der Asymptotik im Bereiche der \(l\)- und \(L\)-Funktionen gewidmet ist. Es handelt sich nämlich um eine Reihe von Abelschen und Tauberschen Sätzen für die \(\mathfrak L\)-Transformation (manchmal in Gestalt einer Mellinschen Transformation betrachtet) und einige indirekte Abelsche Sätze, d. h. Sätze, bei denen – mit Hilfe einer Umkehrformel vom Typus (2) – wie bei den Tauberschen Sätzen, von dem Verhalten einer gewissen Resultat-Funktion \(f(s)\), Rückschlüsse auf das asymptotische Verhalten der entsprechenden Original-Funktion \(F (t)\) gezogen werden. Besonders bemerkenswert scheint mir in diesem dritten Teil die Anwendung der gewonnenen Resultate auf einen neuen Beweis des klassischen Primzahlsatzes: \(\pi (x) \sim x/\log x\), ein Beweis, welcher vielleicht alle bisherigen an Einfachheit übertrifft.
Im Teil IV des Buches (15.-17. Kap.) wird die \(\mathfrak L\)-Transformation zur Auflösung einer wichtigen Klasse von (auch nicht-linearen) Integralgleichungen benutzt, nämlich solcher, die sich wie z. B. die beiden folgenden: \[ \begin{aligned} &\int\limits_0^t (t - \tau)^{-\alpha}F(\tau)\,d\tau = G(t),\qquad (0<\alpha<1)\tag{5}\\ &\int\limits_0^t F(t-\tau)F(\tau)\,d\tau = G(t),\tag{6} \end{aligned} \] mit Hilfe des Faltungszeichens \( \mathop{\hbox{---\kern-0.75em{}\setminus}}\llap/\)