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Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion als Laplace-Integral und eine Umkehrformel für die Laplace-Transformation. (German) JFM 63.0379.01

Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von Bedingungen dafür, daß eine analytische, in einer Halbebene \(\operatorname{Re} (s) >s_0\) reguläre Funktion \(\psi(s)\), durch ein Laplace-Integral: \[ \psi (s) = \int\limits_0^\infty e^{-st} \varphi(t)\, dt \] darstellbar sei, wo \(\varphi (t)\) eine passende, gewisse Vorbedingungen a priori befriedigende Funktion bezeichnet. Hierzu versucht Verf. die Klasse derjenigen Funktionen \(\psi\) zu charakterisieren, welche den Funktionen einer geeigneten (nicht zu engen) Funktionenfamilie \(\{\varphi\}\) entsprechen. Als für die Grundlegung besonders geeignet erwies sich auch hier – wie in vielen anderen Fällen – die Funktionenklasse \(L^p (0, \infty)\), d. h. die Klasse der \(L\)-integrabeln Funktionen \(\varphi\) der reellen Größe \(t\), für welche das Integral \[ \int\limits_0^\infty |\varphi(t)|^p\,dt\qquad (p>0) \] existiert.
Sehr schöne und abgerundete Resultate erhält Verf. insbesondere im Falle \(p = 2\), ein Fall, in dem sich die entsprechende \(\psi\)-Klasse vollkommen beherrschen läßt: Es handelt sich um eine in der Literatur schon auftretende Funktionenklasse, nämlich die Klasse \(\mathfrak H_*^{p'}\) (im Falle \(p' = 2\)) der analytischen Funktionen \(\psi (s) =\psi (\xi + i\eta)\) für die das Integral \[ \mu(\xi) = \int\limits_{-\infty}^\infty|\psi(\xi + i\eta)|^{p'}\,d\eta \qquad(p'>0), \] für \(\xi > 0\) gleichmäßig (in bezug auf \(\xi\)) beschränkt bleibt. Mit anderen Worten: Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß eine analytische Funktion \(\psi (s) \) die Laplace-Transformierte einer Funktion \(\varphi (t)\) aus \(L^2(0, \infty)\) sei, ist die, daß \(\psi(s)\) zu der Klasse \(\mathfrak H_*^2\) gehört.
Ist dagegen \(p \neq 2\), dann haben die Resultate einen weniger definitiven Charakter, wie aus folgendem, vom Verf. stammenden Schema deutlich hervorgeht: \[ \vbox{\halign{\tabskip1em\hfil#&\vrule#\hfil &#\hfil&\vrule#\hfil &#\hfil&\vrule#\hfil &\tabskip0pt#\hfil\cr \noalign{\hrule\hrule\hrule} \(p\)\hfil &height3.5ex depth2.6ex &\hfil\(\varphi\) in \(L^p\) &&\hfil\(\psi\) in \(\mathfrak H_*^{p'}\) &&\(p' = \dfrac p{p-1}\)\cr \noalign{\hrule\vskip0.2ex\hrule} \(1 < p < 2\) &height 2.4ex &Vollbereich &&Teilbereich &&\(p' > 2 \)\cr \noalign{\vskip-0.2ex} \(p = 2\) &height 2.4ex &Vollbereich &&Vollbereich &&\(p' = 2 \)\cr \noalign{\vskip-0.2ex} \(p > 2\) &height 2.4ex &Teilbereich &&Vollbereich &&\(1< p' < 2\)\cr}} \]
Ein anderes interessantes Ergebnis der Arbeit ist eine bemerkenswerte Formel für die reelle Umkehrung der Laplace-Transformation unter der Annahme, daß die gegebene Transformierte \(\psi (s)\) zu der Klasse \(\mathfrak H_*^{p'}\) mit \(1 < p' \leqq 2\) gehöre; eine Formel, welche zwar – wie Verf. selbst bemerkt – schon bei Paley and Wiener (Fourier transformations in the complex domain (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 345-347), insbesondere S. 39) vorkommt, aber ohne funktiontheoretische Charakterisierung der \(\psi\)-Klasse, auf die sie anwendbar ist. Man hat: \[ \varphi(t)=\mathop{\text{l.\;i.\;m.}\,}\limits_{\alpha\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^\infty \psi(s)\,ds\int\limits_0^\alpha \operatorname{Re} \frac{(st)^{-\frac12+iy}}{\varGamma(\frac12+iy)}\, dy, \] wo der Grenzübergang im Sinne der quadratischen Mittelkonvergenz zu verstehen ist.
Betreffs der Methoden, durch die diese und andere wichtige Resultate hergeleitet werden, sei hier – der Kürze wegen – nur auf die wichtige Rolle hingewiesen, welche die Grenzwerte von \(\psi(s)\) für die Konvergenzgerade \(\operatorname{Re} (s) = s_0\) spielen. Außerdem kommt die bekannte Plancherelsche Theorie der Fourier-Transformation und ihre Verallgemeinerung nach Titchmarsh (Proc. London math. Soc. (2) 23 (1924), 279-289; F. d. M. 50, 201 (JFM 50.0201.*)-202) fast auf jeder Seite zur Anwendung.

Citations:

JFM 50.0201.*
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