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Gewisse Reihentransformationen, die mit der linearen Transformationsformel der Thetafunktion zusammenhängen. (Italian) JFM 63.0385.01
Jede lineare Funktionalbeziehung für den Kern \(J_\nu\) der Hankel-Transformation \[ f(s)=\int\limits_a^b J_\nu\bigl(2\sqrt{st}\bigr) F(t)\,dt \] führt auf eine Relation für \(f(s)\). Dies wird angewendet auf die von G. Doetsch (Compositio math., Groningen, 1 (1935), 85-97; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 306) und H. V. Lowry (Philos. Mag., London, (7) 13 (1932), 1144-1163; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 433) angegebene und von H. Kober (Math. Z. 39 (1935), 609-624; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 400) verallgemeinerte Beziehung für die Bessel-Funktionen \[ \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{J_\nu\bigl(2\pi|n+v|\sqrt t\bigr)}{|n+v|^\nu} e^{2\pi i\beta(n+v)} =\frac{t^{-\frac\nu2}\pi^{\nu-\frac12}} {\varGamma(\nu+\frac12)} \sum_{|n+\beta|<\sqrt t} e^{-2\pi i vn} \bigl(t-(n+\beta)^2\bigr)^{\nu-\frac12} \] und drei spezielle Paare von Funktionen \(F\), \(f\), wovon das Beispiel (\(a = 0\)) \[ \begin{gathered} F(t)=t^{\frac\nu2} (b - t)^{\frac\mu2} J_\mu \bigl(2 \sqrt{\sigma (b t)}\bigr), \\ f(s)=\sigma^{\frac\mu2} s^{\frac\nu2} \left(\frac b{s+\sigma}\right)^{\frac{\mu+\nu+1}2} J_{\mu+\nu+1}\bigl(2\sqrt{b(s+\sigma)}\bigr) \end{gathered} \] erwähnt sei, das zu der Relation \[ \begin{gathered} b^\nu \sum_{n=-\infty}^\infty \bigl\{ \sqrt{b[\pi^2(n+v)^2+\sigma]}\bigr\}^{-\nu} J_\nu\bigl(2\sqrt{b[\pi^2(n+v)^2+\sigma]}\bigr) e^{2\pi i\beta(n+v)} \\ {}=\frac1{\sqrt\pi \sigma^{\nu-\frac12}} \sum_{|n+\beta|<\sqrt b} \bigl\{\sqrt{\sigma[b-(n+\beta)^2]}\bigr\}^{\nu-\frac12} J_{\nu-\frac12} \bigr(2\sqrt{\sigma[b-(n+\beta)^2]}\bigr) e^{-2\pi i vn} \end{gathered} \] führt, die für \(\sigma\to 0\) in die obige Gleichung übergeht.

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Full Text: EuDML
References:
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