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Sur diverses décompositions d’un noyau de Fredholm. (French) JFM 63.0396.02

Die Arbeit, deren Anfangsteil noch auf das Jahr 1913 zurückgeht, knüpft an die Kompositionstheorie von Volterra, die dieser in seinem Buch: Leçons sur les fonctions de lignes (1913; F. d. M. 44, 458 (JFM 44.0458.*)), Chap. XII, dargestellt hat, eng an. Mit der abkürzenden Bezeichnung \[ \overset{0} K\overset{0} H = \int\limits_a^b K(x,\xi)H(\xi,y)\,d\xi,\quad \overset{0} I\overset{0} K = K(x,y) \] schreiben sich die beiden homogenen assoziierten Fredholmschen Integralgleichungen \[ \varphi(x) - \int\limits_a^b K(x,\xi)\varphi(\xi)\,d\xi = 0,\quad \psi(y)- \int\limits_a^b\psi(\xi)K(\xi,y)\,d\xi=0, \] in der Form: \[ \left(\overset{0} I-\overset{0} K\right)\overset{0} \varphi = 0, \qquad\qquad (2)\qquad \overset{0} \psi\left(\overset{0} I-\overset{0} K\right)=0. \tag{2} \] Den Ausdruck \((\overset{0} I - \overset{0} K)\) bezeichnet Verf. als Fredholmsches Binom und erkennt diesem den Rang \(n\) zu, wenn (1) \(n\) linear unabhängige Lösungen besitzt. Für \(n = 0\) heißt das Binom regulär. Es werden nun insbesondere die folgenden zwei Sätze über die Zerlegung eines solchen Fredholmschen Binoms in ein Kompositions-Produkt ähnlicher Binome bewiesen:
I) Besteht die Beziehung \[ \left(\overset{0} I- \overset{0} K\right)= \left(\overset{0} I \overset{0} K_1\right)\left(\overset{0} I - \overset{0} K_2\right)\ldots \left(\overset{0} I- \overset{0} K_p\right), \tag{3} \] wobei die auftretenden Binome vom Range \(n,\, \omega_1,\, \omega_2,\,\ldots,\, \omega_p\) sind, so gelten die Ungleichungen: \[ \begin{gathered} n \leqq\omega_1+\omega_2+\cdots + \omega_p \tag{4}\\ \omega_1 \leqq n,\;\omega_2\leqq n,\;\ldots,\;\omega_p \leqq n \tag{5} \end{gathered} \] und umgekehrt:
II) Ist \((\overset{0} I - \overset{0} K)\) vom Rang \(n\) und sind \(\omega_1,\,\ldots,\,\omega_p\) irgend \(p\) Zahlen, die (4) und (5) genügen, so gibt es stets \(p\) Binome \[ \left(\overset{0} I- \overset{0} K_1\right),\;\left(\overset{0} I-\overset{0} K_2\right),\;\ldots,\;\left(\overset{0} I-\overset{0} K_p\right) \] vom Rang \(\omega_1,\,\ldots,\,\omega_p\) derart, daß (3) gilt.
Sind insbesondere die Kerne zueinander orthogonal \(\left(\overset{0} K_i\overset{0} K_j= 0\right)\), so gilt in (3) das Gleichheitszeichen.
In dem Schlußteil schlägt Verf. die Brücke von seinen Ergebnissen zu bekannten Untersuchungen von Goursat.

Citations:

JFM 44.0458.*
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