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Sur une classe d’équations fonctionnelles. (French) JFM 63.0406.02

Lösung von Funktionalgleichungen mittels Reihenentwicklungen. Die Arbeit gipfelt in folgendem Satz: Die Funktionalgleichung \[ \varPsi(x, y, s, t) = \varPsi(x, y, s, u) + \varPsi(x, y, u, t) + \int\limits_a^b\varPsi(x, z, u, t) \varPsi (z, y, s, u)\, dz \tag{\text{*}} \] besitzt die folgende eine willkürliche stetige Funktion von drei Veränderlichen \(K (x, y, u)\) (\(a \leqq {\displaystyle{x\atop y}}\leqq b\), \(s\leqq u\leqq t\)) enthaltende Lösung: \[ \begin{aligned} &\varPsi(x, y, s, t) = \int\limits_s^t K (x, y, u)\, du + \sum_{m=2}^\infty \int\limits_a^b\int\limits_a^b\ldots\int\limits_a^b \iint\limits_{\kern1em D_m} \kern-0.2em\ldots \int K(x,z_1,u_m)\\ &K(z_1,z_2,u_{m-1}) \ldots K(z_{m-1}, y,u_1)\, du_1\, du_2\ldots du_m\, dz_1\, dz_2\ldots dz_{m-1}; \end{aligned} \] \( D_m\) bedeutet dabei das Gebiet \(s \leqq u_1\leqq u_2 \leqq \cdots \leqq u_m \leqq t\).
Eine andere Methode zur Auffindung von Lösungen von (*) ist die folgende: Sei \(N (x, y, u)\) der Fredholmsche lösende Kern zu \(K (x, y, u)\). Dann ist \[ \varPsi(x, y, s, t) = K(x, y, t) + N (x, y, s) + \int\limits_a^b K(x, z, t) N (z, y, s)\, dz \] Lösung von (*).
Anwendung auf die Gleichung von Hadamard (Bull. Soc. math. France 31 (1903), 208-224; F. d. M. 34, 387 (JFM 34.0387.*)).

Citations:

JFM 34.0387.*
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