Non-linear difference equations. (English) JFM 63.0437.01

Trjitzinsky, W. J.

Compositio math., Groningen, 5, 1-66 (1937).

Es handelt sich um Differenzengleichungen der Form \[ y(x+n)=z^wa(z,y(x),y(x+1),\dots,y(x+n-1)) \qquad (z=x^{1/\alpha}),\tag{1} \] wobei \(w\), \(\alpha\) ganze teilerfremde Zahlen sind (\(\alpha\geqq 1\)) und wobei \(a(z,y_0,\dots,y_{n-1})\) eine an der Stelle \(z=\infty\), \(y_\nu=0\) reguläre analytische Funktion ist, die der Nebenbedingung \(a(z,0,\dots,0)=0\) genügt; also \[ \begin{gathered} a(z,y_0,\dots,y_{n-1})=b_0(z)y_0+\cdots+b_{n-1}(z)y_{n-1}+ \sum a_{i_0\cdots i_{n-1}}(z)y_0^{i_0}\cdots y_{\phantom{i}n-1}^{i_{n-1}}\tag{2}\\ (i_0+\cdots+i_{n-1}\geqq 2). \end{gathered} \] Dabei werden die beiden Fälle unterschieden, daß der Bereich der Variabeln \(x\) mit dem Punkt \(x\) stets auch den Punkt \(x-1\) enthält, also nach links ins Unendliche geht (Fall I), oder den Punkt \(x+1\) enthält, also nach rechts ins Unendliche geht (Fall II). Die Resultate sind aber in beiden Fällen nicht allzu verschieden.
Zunächst werden formale Lösungen hergestellt von der Form \[ y_1(x)p_1(x)+y_2(x)p_1(x)^2+y_3(x)p_1(x)^3+\cdots,\tag{3} \] wobei \(y_1(x)\) eine Lösung der linearen Gleichung \[ y(x+n)=z^w[b_0(z)y(x)+b_1(z)y(x+1)+\cdots+b_{n-1}(z)y(x+n-1)] \tag{4} \] bedeutet und mit einer Anzahl willkürlicher Funktionen mit der Periode 1 behaftet ist. \(p_1(x)\) bedeutet selbst eine willkürliche Funktion mit der Periode 1, und die \(y_\nu(x)\) für \(\nu\geqq 2\) ergeben sich sukzessive durch Berücksichtigung der höheren Potenzen in (2). Die Reihe (3) ist im allgemeinen divergent. Ein weiterer Abschnitt befaßt sich mit der Transformation der Gleichung (1), indem \(y(x)\) gleich einem endlichen Abschnitt der Reihe (3) plus eine neue Unbekannte \(\varrho(x)\) gesetzt wird. Schließlich wird für die transformierte Gleichung eine Lösung in Form einer konvergenten unendlichen Reihe gegeben, wodurch sich für die ursprüngliche Gleichung (1) eine Lösung ergibt, die der Reihe (3) in gewissem Sinne asymptotisch gleich ist.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzenrechnung. Analytische Theorie der Kettenbrüche.