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Modern methods of analysis in potential theory. (English) JFM 63.0453.01
Verf. gibt einen Überblick über die neueren Untersuchungen in der Potentialtheorie. Es erweist sich als zweckmäßig, die Randwertprobleme so zu verallgemeinern, daß man auf dem Rande absolut additive Mengenfunktionen vorgibt mit der Forderung, daß das Integral der gesuchten Funktion oder ihrer Normalableitung über ein Kurven- bzw. Flächenstück, welches gegen ein entsprechendes Stück des Randes konvergiert, gegen den Wert der Randfunktion für das betreffende Randstück strebt. Beim Dirichletschen Problem erhält man so durch die weitere Forderung der eindeutigen Lösbarkeit die Klasse derjenigen harmonischen Funktionen, welche sich im Inneren des Gebietes als Differenz zweier positiver harmonischer Funktionen darstellen lassen. Bei hinreichend glatten Rändern läßt sich die Lösung des Dirichletschen und Neumannschen Problems als Potential einer doppelten bzw. einfachen Belegung darstellen, welche Lösungen von Stieltjes-Integralgleichungen sind. Bei allgemeineren Rändern läßt sich die Lösung des Dirichletschen Problems darstellen in der Form \[ u(M)=\int\limits_S\frac{dm(e,M)}{dm(e,M_0)}d_\mu(e_P); \] \(m(e,M)\) ist diejenige beschränkte harmonische Funktion von \(M\), welche das Dirichletsche Problem mit den Randwerten 1 auf \(e\) und 0 auf dem Rest des Randes löst.
Nun folgen Bemerkungen über das gemischte Randwertproblem. Verf. beschränkt sich auf ein spezielleres Problem für den Kreis. \(F\) sei eine abgeschlossene Menge von positiver Kapazität auf dem Umfang des Kreises. Auf \(F\) ist eine stetige Punktfunktion vorgeschrieben, während auf dem Rest eine vollständig additive Mengenfunktion \(h(e)\) vorgegeben ist. Es werden Bedingungen für die eindeutige Lösbarkeit angegeben und auch eine Lösung konstruiert. Damit diese die Bedingungen des Eindeutigkeitssatzes erfüllt, genügt es z. B., daß \(h(e)\) totalstetig von beschränkter Ableitung ist.
Schließlich werden noch die verallgemeinerten Potentiale \(u(M)=\int\dfrac {dm(e_P)}{r^\alpha}\) besprochen, die O. Frostman (Potential d’équilibre et capacité des ensembles, Meddel. Lund Univ. mat. Sem. 3, 1935; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\), 1262) eingehend studiert hat. Verf. behandelt insbesondere das Problem der Gleichgewichtsverteilung, wenn auf einer abgeschlossenen Menge \(F_1\) positive Massen und auf einer weiteren zu \(F_1\) fremden Menge \(F_2\) negative Massen verteilt sind. Auch in diesem Falle gibt es eine auf allen \(B\)-meßbaren Mengen eindeutig bestimmte Gleichgewichtsverteilung von fester Gesamtmasse, die das Energieintegral zum Minimum macht.

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