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Über das Cauchysche Problem für Systeme von partiellen Differentialgleichungen. (German) JFM 63.0466.03

Betrachtet werden Systeme partieller Differentialgleichungen \[ \frac{\partial^{n_j} u_j}{\partial t^{n_j}} = F_j, \quad j=1, \ldots \!, N, \tag{1} \] in den (reellen) unabhängigen Veränderlichen \(x_{\nu}, \, \nu=1, \ldots \!,n\), und \(t\), sowie den (reellen) abhängigen Veränderlichen \(u_j(t, \, x_1, \ldots \!,x_n)\), \(j=1, \ldots \!, N\); dabei seien die \(F_j\) reelle Funktionen von \(t, \, x_1, \ldots \!,x_n, \, u_1, \ldots \!,u_N\) sowie von deren Ableitungen \[ u_j^{(r_0, r_1, \ldots \!,r_n)} (t, \, x_1, \ldots \!,x_n) = \frac{\partial^{r} u_j}{\partial t^{r_0} \, \partial x_1^{r_1} \, \cdots \partial x_n^{r_n}}, \quad \text{wo} \quad r=r_0+r_1+\cdots+r_n \leqq n_j, \] \(n_j>0\), \(0 \leqq r_0 \leqq n_j-1\); \(j=1, \ldots \!, N\). Das Cauchysche Problem (kurz C. P.) für (1) besteht nun in der Frage nach denjenigen Lösungen von (1) welche zusammen mit ihren partiellen Ableitungen (nach \(t, \, x_1, \ldots \!,x_n\)) bis zu einer gewissen endlichen Ordnung, beschränkt und stetig sind in einem gewissen beschränkten, an \(t = 0\) angrenzenden Gebiete \(G\) des Raumes der \((t, \, x_1, \ldots \!,x_n)\) und welche folgenden Anfangsbedingungen genügen: \(u_j^{(r_0, r_1, \ldots \!,r_n)} (0, \, x_1, \ldots \!,x_n) = \varphi_{jr_0}^{(r_1, \ldots \!,r_n)}\); dabei hängen die vorgegebenen “Anfangswerte” \(\varphi_{jr_0}^{(r_1, \ldots \!,r_n)}, \; j=1, \ldots \!, N; \; 0 \leqq r_0 \leqq n_j-1\) usw., nur von den \(x_1, \ldots \!,x_n\) ab und sollen (zusammen mit ihren partiellen Ableitungen nach den \(x_1, \ldots \!,x_n\) bis zu einer gewissen Ordnung \(L\)) beschränkt und stetig sein. Eine solche Lösung von (1) möge als “Lösung mit den Anfangswerten \((\varphi)\)” bezeichnet werden. -Das C. P. heißt nun korrekt gestellt auf \(G\), wenn 1) das C. P. eindeutig lösbar ist in \(G\) für alle zu \((\varphi)\) hinreichend “benachbarten” Anfangswerte; 2) wenn Lösungen mit zueinander hinreichend “benachbarten” Anfangswerten selbst “beliebig” benachbart sind in \(G\). – Verf. zeigt: Das C. P. ist korrekt gestellt auf einem im Gebiete \(G^*\) enthaltenen Gebiete \(G\), falls die Anfangswerte (für \(t = 0\)) identisch null sind und falls (1) in \(G^*\) den folgenden Bedingungen genügt: Die \(F_j\) besitzen in ihrem Definitionsbereiche (wobei insbesondere alle in Betracht kommenden \(u_j^{(r_0, \ldots \!,r_n)}\) als beschränkt anzunehmen sind) stetige beschränkte Ableitungen nach allen ihren Argumenten bis zur Ordnung \(4(n + 1)\) einschließlich. Die Matrix \[ \left\| \sum_{r_0+r_1+ \cdots + r_n=n_j} \frac{\partial F_i}{\partial u_j^{(r_0, \ldots \!,r_n)}} \lambda^{r_0} \alpha_1^{r_1} \cdots \alpha_n^{r_n} \right\| \left\| \lambda^{n_j} \delta_{ij} \right\| \] werde in “Diagonalgestalt” geschrieben, \( \begin{Vmatrix} M_1 & & & \\ & M_2 & & \\ & & \ddots \\ & & & M_l \end{Vmatrix}\), wobei also alle außerhalb der quadratischen Matrizen \(M_{\sigma}\) stehenden Elemente null sind (während die Diagonalen der \(M_{\sigma}\) sämtlich in der Diagonale der ganzen Matrix liegen), \(\sigma=1, \ldots \!, l\). Die Determinante von \(M_{\sigma}\) soll, als Polynom in \(\lambda\) betrachtet, für beliebige reelle \(\alpha_{\nu}\) mit \(\sum\limits_{\nu=1}^{n} \alpha_{\nu}^2=1\) nur einfache, reelle Nullstellen besitzen, wobei die Differenzen je zweier dieser Nullstellen, absolut genommen, eine positive untere Schranke besitzen, die völlig konstant ist. (Hat für irgendwelche reelle \(\alpha_{\nu}\) und für \(t = 0\) eine der \(M_{\sigma}\) eine komplexe Nullstelle, so ist im Falle linearer Systeme, deren Koeffizienten nur von \(t\) abhängen, das C. P. auf keinem, an \(t = 0\) angrenzenden Gebiete \(G\) korrekt gestellt. Sind die Nullstellen der \(M_{\sigma}\) zwar stets sämtlich reell, aber nicht alle einfach für passende \(\alpha_{\nu}\), so hängt die Korrektheit des C. P. noch von weiteren Bedingungen ab.) – Der Beweis wird zunächst (1. Teil) für Systeme 1. Ordnung durchgeführt und sodann (2. Teil) für den allgemeinen Fall; dabei Zurückführung auf quasilineare Fälle. Im 1. Teile werden dann der Reihe nach erledigt die Fälle: \(f_1\) Lineares System mit analytischen Koeffizienten (kurz K.) und analytischen Anfangswerten (kurz A.); \(f_2\). Lineares System mit analytischen periodischen K. und unendlich oft differenzierbaren periodischen A. ; \(f_3\). Lineares System mit genügend glatten K. und A.; \(f_4\). Quasilineares System mit polynomialen K. und A.; \(f_5\). Allgemeiner quasilinearer Fall. Dabei wird dann, grob gesprochen, jeweils der Fall \(f_{\varrho}\) durch den ihm vorhergehenden \(f_{\varrho-1}\) beliebig genau angenähert und gezeigt, daß die Menge der für \(f_{\varrho-1}\) bereits als existierend erkannten Lösungen des C. P. sowie die Mengen der in Betracht kommenden partiellen Ableitungen dieser Lösungen kompakt sind so daß man durch passende Auswahl zu (gleichmäßig konvergenten) Näherungsfolgen für die Lösungen von \(f_{\varrho}\) gelangt. Besagte Kompaktheit ergibt sich jeweils im wesentlichen aus einer keineswegs einfach zu gewinnenden Abschätzung der Form \[ \sum_{j=1}^{N} \int\limits_{W} u_j^2(t, \, x_1, \ldots \!,x_n) \, dx_1 \cdots dx_n \leqq \exp (\psi_4 t) \]
\[ \times \, \left[ \psi_5 \sum_{j} \int\limits_{W} u_j^2(0, \, x_1, \ldots \!,x_n) \, dx_1 \cdots dx_n + \psi_6 \sum_{j} \int\limits_{0}^{t} \int\limits_{W} f_j^2(\tau, \, x_1, \ldots \!,x_n) \, d \tau \, dx_1 \cdots dx_n \right], \] wo \(W\) ein Würfel im Raume der \((x_1, \ldots \!,x_n)\), wo die \(\psi_{\varrho}\) Konstante und wo die \(f_j\) die von den \(u_j\) freien Glieder des betrachteten linearen Systems sind. Für weitere Einzelheiten muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden (vgl. auch die Voranzeigen C. R. Acad. Sci., Paris, 202 (1936); 1010-1012, 1246-1248; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\); 535-536, 543).

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