Metric methods in calculus of variations. (English) JFM 63.0477.06

Menger, K.

Proc. Acad. Sci. USA 23, 244-250 (1937).

Abriß (ohne Beweise) einer Einordnung der Variationsrechnung in den Gedankenkreis der “metrischen Geometrie” des Verf. Die Rolle, die der Bogenlänge in den üblichen Existenzbeweisen zukommt, wird von einer allgemeineren Metrik übernommen, und an Stelle der Integrale der Variationsrechnung tritt ein mit Hilfe einer Funktion dreier Punkte \(\varphi \,(p; \,q, \,r)\) (die die von Punkt und Richtung abhängige Funktion \(f \,(x, \,y, \,y')\) vertritt) definierter Grenzwert, der als eine neue Maßbestimmung der zugrunde gelegten Metrik zur Seite tritt. Unter sehr allgemeinen Voraussetzungen über \(\varphi\) ergeben sich Existenzsätze, die vor allem auch den Fall nicht-rektifizierbarer Extremalen umfassen.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.