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Théorie de l’addition des variables aléatoires. (French) JFM 63.0490.04

XVII+ 328 p. Paris, Gauthier-Villars (1937).
Das Buch enthält eine vereinfachende Zusammenfassung und Vervollständigung der Untersuchungen, die Verf. in den letzten Jahren (sein früheres Buch “Calcul des probabilités” (1925; F. d. M. 51, 380) eingeschlossen) hinsichtlich der Grenzbetrachtungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung veröffentlicht hat. Dabei wurden die einschlägigen Resultate anderer Forscher auf dem gleichen Gebiet in das Ganze hineingearbeitet, so daß ein Nachschlagewerk für diese Grenzwertfragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden ist. Die Darstellung selbst ist wesentlich vereinfacht worden durch die Zentralstellung des von H. Cramér (Math. Z. 41 (1936), 405-414; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 597) bewiesenen, früher vom Verf. nur vermuteten Satzes, daß zwei unabhängige stochastische Veränderliche, deren Summe einem Gaußschen Verteilungsgesetz unterliegt, selbst Gaußsche Verteilungen besitzen.
Die ersten vier Kapitel sind vorbereitender Natur. Das erste enthält die Einstellung des Verf. zum Problem der Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das zweite die mengentheoretischen Grundlagen. Diese Ausführungen werden im dritten Kapitel erweitert zum Studium der Wahrscheinlichkeitsgesetze für eine oder mehrere Veränderliche. Das vierte Kapitel endlich ist den an das Bernoullische Theorem unmittelbar angeschlossenen Fragen gewidmet.
Das fünfte Kapitel zeigt die Rolle der Gaußschen Verteilung als Grenzverteilung. Nach dem oben zitierten Satz von Lévy-Cramér werden die Fragen behandelt, die an das Theorem von Liapounoff anschließen. Einführung des Begriffs der stabilen Wahrscheinlichkeitsgesetze.
Das sechste Kapitel beschäftigt sich mit “abzählbaren Wahrscheinlichkeiten”, d. h. es wird eine Folge stochastischer Veränderlicher \(X_n\) betrachtet und die Wahrscheinlichkeit von Eigenschaften, die von der Folge der \(X_n\) abhängen, studiert. Es werden die verschiedenen Begriffe der Konvergenz untersucht, die bei solchen Problemen eine Rolle spielen. Den Schluß des Kapitels bilden Untersuchungen, wie sie erstmals von W. Doeblin und dem Verf. (C. R. Acad. Sci., Paris, 202 (1936), 2027-2029; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 600) angezeigt wurden: Definiert man als Dispersion einer stochastischen Veränderlichen \(X\) für die Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) die Minimallänge eines Intervalls, das \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit \(\geqq \alpha\) enthält, so gilt ein Satz der folgenden Art: Ist \(X_n\) eine Folge von stochastischen Veränderlichen, deren Dispersion für die Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) für alle \(n\) die Zahl \(2l\) übertrifft, so lassen sich zwei Konstanten \(R\) und \(N\) derart bestimmen, daß für \(n \geqq N\) die Dispersion von \(S = X_1 + \cdots + X_n\) für die Wahrscheinlichkeit \(\beta(>0)\) mindestens gleich \(kl\sqrt{n}\) wird.
Kapitel 7 dehnt diese Untersuchungen aus auf den Fall, daß die stochastischen Veränderlichen nunmehr von einem kontinuierlichen Parameter \(t\) abhängen, also \(X(t)\). Zunächst werden in etwas erweiterter Form die Untersuchungen des Verf. aus seiner Arbeit in den Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 3 (1934), 337-366; 4 (1935), 217-218 (F. d. M. 60\(_{\text{II}}\), 1157; 61\(_{\text{II}}\), 1291) wiedergegeben. Es folgt eine ausführliche Anwendung auf die stabilen Wahrscheinlichkeitsgesetze. Schließlich Ausdehnung auf mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsgesetze.
Während bisher im wesentlichen die auftretenden stochastischen Veränderlichen als unabhängig vorausgesetzt wurden, beschäftigt sich Kapitel 8 mit einigen Problemen verketteter stochastischer Variablen. Man findet dort z. B. Ausführungen über Markoffsche Ketten, Ausdehnung des Bernoullischen Theorems auf verkettete Veränderliche, Lindebergs Beweis des Liapounoffschen Theorems mit Bemerkungen über verkettete Veränderliche, das starke Gesetz der großen Zahlen, das Gesetz des iterierten Logarithmus.
Das neunte Kapitel endlich bringt Anwendungen auf die Theorie der Kettenbrüche.