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Osservazioni su alcune “geometrie finite”. I, II. (Italian) JFM 63.0542.01

Im Anschluß an seine frühere Arbeit “Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva…” (Giorn. Mat. Battaglini 30 (1892), 106-132; F. d. M. 24, 618 (JFM 24.0618.*)) entwickelt der Verf. in diesen beiden Noten eine allgemeine sehr durchsichtige geometrische Methode für die systematische Aufstellung der Inzidenztafeln derjenigen endlichen projektiven Geometrien der Veblensysteme \(S(n^2 - n + 1|2|n)\) (Terminologie nach den Untersuchungen des Ref. in Deutsche Math. 1 (1936); 578-588; 588-592; 2 (1937), 242-251; Mh. Math. Phys. 45 (1937), 320-331; 46 (1937), 93-121; S.-B. math.-nat. Abt. Bayer. Akad. Wiss. München 1937, 1-17; J. reine angew. Math. 179 (1938), 37-64; F. d. M. \(62_{\text I}\); 650, 651; vorstehende Referate; 64), für die das Fanosche Axiom \(F_1\) von der Krummlage der Nebenecken eines vollständigen Vierecks nicht erfüllt ist. Es sind dies die Veblensysteme \(S (7|2|3)\), \(S(21|2|5)\), \(S(73|2|9),\ldots\), \(S(n^2+n+1|2|n+1)\) mit \(n = 2^m\), \(m > 2\). – Diese Methode kann sinngemäß auch für die weiteren Veblensysteme \(S(n^2+n+1|2|n+1)\) mit \(n = p^m\) (\(p\) Primzahl) benützt werden, wie am Beispiel des Systems \(S (91|2 |10)\) gezeigt wird.
Die Fanosche Methode berührt sich teilweise mit der früher von W. Heuser in seiner von H. Liebmann und Ref. angeregten Heidelberger Dissertation (Über die Möglichkeit finiter Geometrien, 1934; F. d. M. \(62_{\text{II}}\)) entwickelten kombinatorischen Methode (s. dort den Begriff der “diagonalen Kombination” und vergleiche dazu die Fanosche Hauptmatrix und ihre Untermatrizen), ist aber allgemeiner, rein geometrisch und vollständig durchsichtig. – Mit den beiden Fanoschen Noten ist das Problem der rein formalen, expliziten Aufstellung der Inzidenztafeln der genannten Veblensysteme als endgültig gelöst zu betrachten. Die Umschreibung der so erhaltenen Tafeln in involutorischreziproke (spiegelbildliche Anordnung der Inzidenzzeichen zu einer Hauptdiagonalen) kann mit Hilfe des vom Ref. angegebenen “Spiegelungsprinzips” (Deutsche Math. 1 (1936), 588-592) erfolgen und kommt, geometrisch gesprochen, darauf hinaus, daß man das nach der Fanoschen Methode sich ergebende Veblensystem einer Polarität oder einer Reziprozität unterwirft. Dies ist die geometrische Bedeutung des Spiegelungsprinzips des Ref., wie man unmittelbar einsehen kann.

Citations:

JFM 24.0618.*
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