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Topological properties of differentiable manifolds. (English) JFM 63.0556.03
Verf. faßt in diesem Vortrag zwei verschiedene Probleme zusammen. Im ersten Teil handelt es sich um topologische Eigenschaften der Sphärenräume, mit denen sich Verf. in einer früheren Arbeit (Proc. nat. Acad. Sci. USA 21 (1935), 464-468; JFM 61.0624.*) beschäftigt hat. Die Sphärenräume sind Verallgemeinerungen des Raumes der Linienelemente einer \(n\)-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit und sind daher wichtig für topologische Untersuchungen von Vektorfeldern u. a. Mittels des Begriffs der Homologie- und der Kohomologiegruppe (vgl. Verf., On matrices of integers and combinatorial topology, Duke math. J. 3 (1937), 35-45; On products in a complex; Ann. math., Princeton, (2) 39 (1938), 397-432; JFM 63.0064.*) ergeben sich topologische Invarianten der Sphärenräume; die einfachste hängt mit dem Orientierbarkeitscharakter zusammen. Diese Invarianten genügen jedoch nur in den topologisch einfachsten Fällen zur Kennzeichnung der Sphärenräume bei gegebenem Basisraum. Es kann aber mit Hilfe eines Einbettungssatzes ein Erzeugungsverfahren aus gewissen einfachen Sphärenräumen angegeben werden. Die Anwendungen betreffen die Räume der Tangentialbzw. Normalvektoren einer im euklidischen Raum eingebetteten Mannigfaltigkeit (vgl. E. Stiefel, Comment. math. Helvetici 8 (1936), 305-353; Verf. Proc. nat Acad. Sci. USA 21 (1935), 464-468; JFM 62.0662.*; 61\(_{\text{I}}\), 624).
Der zweite Teil der Arbeit behandelt mehrfache Integrale in differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, wobei die Integranden alternierende kovariante Tensoren sind. Hier werden mit etwas abgeänderten Methoden hauptsächlich Ergebnisse von G. de Rham (Sur l’analysis situs des variétés à \(n\) dimensions, J. Math. pur. appl. (10) 9 (1931), 115-200, Comment. math. Helvetici 4 (1932), 151-157, Enseign. math. 35 (1936), 213-228; JFM 57.0058.*\(_{\text{I}}\); 619; 62\(_{\text{I}}\), 671) wiedergegeben.

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