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Sur la topologie de certaines variétés algébriques réelles. (French) JFM 63.0557.01

Mit ähnlichen Methoden wie früher (Ann. Math., Princeton (2) 35 (1934) 396-443; JFM 60.1223.*-1224) die komplexen behandelt Verf. nun die reellen Graßmannschen Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerung. Trotz des Fehlens expliziter Formeln für die Homologieinvarianten ist das Ergebnis in gewisser Weise abschließend, da alle Hilfsmittel zu ihrer Berechnung bereit gestellt werden.
Eine reelle \(p\)-dimensionale Ebene des \(n\)-dimensionalen reellen projektiven Raumes werde mit \([p]\) bezeichnet. Ist \(0\leqq a_0<a_1<\cdots<a_k\leqq n\) und \([a_0]\subset[a_1]\subset\cdots\subset[a_k]\), so bedeute \([a_0a_1\ldots a_k]\) die Mannigfaltigkeit aller \([k]\), die (für alle \(i\)) \([a_i]\) mindestens \(i\)-dimensional treffen. Von nun an mögen alle \(a_i\) einer festen Folge \([0]\subset [1] \subset \cdots \subset [n]\) entnommen sein.
Läßt man aus \([a_0\ldots a_k]\) alle \([k]\) weg, die zu einem \([a_0 \ldots a_i'\ldots a_k]\) mit \(a_i' = a_i-1\) gehören, so entsteht eine offene Zelle \([a_0 \ldots a_k]^*\). Diese Zellen lassen sich zur Berechnung der Homologieeigenschaften von \(V\) (der Mannigfaltigkeit aller \([k]\)) verwenden. Das Inzidenzschema enthält nur die Koeffizienten \(\pm 2\) und 0, die im einzelnen genauer bestimmt werden. \(V\) ist für ungerades \(n\) orientierbar, für gerades \(n\) nichtorientierbar. Als Basiselemente der Bettischen Gruppen von \(V\) lassen sich die \([a_0 \ldots a_k]^*\) (soweit sie Zyklen sind) und die \(\frac12 \mathfrak R[a_0\ldots a_k]^*\) verwenden (\(\mathfrak R\) bedeutet Randbildung).
Analog kann man die Mannigfaltigkeit aller \(\{p_0\ldots p_k\}\) untersuchen (dies Symbol bedeutet eine Figur gebildet aus \([p_0],\ldots,[p_k]\) mit \(p_0 <p_1<\ldots< p_k\) und \([p_0] \subset [p_1] \subset\cdots\subset[p_k]\)). Verf. beschränkt sich auf den Fall \(k = 1\), die Mannigfaltigkeit aller \(\{pq\}\), während er für den Allgemeinfall nur einige Andeutungen und spezielle Untersuchungen gibt. Der Ausdruck \(\begin{bmatrix} a_0 \ldots a_p\\ b_0 \ldots b_q\end{bmatrix}\), in dem die \(a\) eine Teilmenge der \(b\) bilden und die \([a]\) und \([b]\) wieder die früheren Bedingungen erfüllen, bedeutet die Mannigfaltigkeit aller \(\{pq\}\), für die \([p]\) ein Element von \([a_0 \ldots a_p]\) und \([q]\) ein Element von \([b_0 \ldots b_q]\) ist. Ähnlich wie oben entsteht die offene Zelle \(\begin{bmatrix} a_0 \ldots a_p\\ b_0 \ldots b_q\end{bmatrix}^*\), und auch die übrigen Ergebnisse sind eine einfache Verallgemeinerung der obigen.
Eine spezielle Untersuchung der Mannigfaltigkeit der \(\{01\}\) führt Verf. zu dem Resultat (vgl. E. Stiefel, Enseign. math. 34, 273-274; JFM 62.0061.*): Der reelle projektive Raum ist höchstens für die Dimensionszahlen 3, 7 und 16 \(r -1\) parallelisierbar (für 3 und 7 existiert ein solcher Parallelismus bekanntlich).

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