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Zur Homologie-Theorie der Kompakten. (German) JFM 63.0558.06
Anknüpfend an die Tatsache, daß den Kern der Polyedertopologie die Beziehung bildet, die zwischen einem Polyeder, also einer triangulierbaren Punktmenge, und dem durch eine Triangulierung gegebenen Komplex, also einem “diskreten Raum” (Alexandroff-Hopf, Topologie I (1935; JFM 61.0602.*), S. 132) besteht, wird die folgende Frage gestellt, zu deren Behandlung die Arbeit einen Beitrag liefert: “Wann lassen sich die topologischen Eigenschaften eines Kompaktums \(F\) auf die Eigenschaften eines diskreten Raumes \(D\) zurückführen, auf welchen \(F\) stetig abgelbildet ist? Welche Eigenschaften von \(D\) haben für \(F\) eine invariante Bedeutung?” Es wird gezeigt: Bei der Abbildung von \(F\) auf \(D\) sollen die Urbilder der abgeschlossenen Hüllen der Elemente von \(D\) gewissen Bedingungen genügen, die fast wörtlich mit denjenigen übereinstimmen, mit denen man in der Homologietheorie der Komplexe die “Zellen” charakterisiert (Alexandroff-Hopf, S. 245); dann sind die Bettischen Gruppen von \(F\) mit denen von \(D\) isomorph. Der Satz wird auf den Fall angewandt, in dem \(D\) aus den Elementen einer endlichen abgeschlossenen, multiplikativen Überdeckung von \(F\) besteht, die “dimensioniert” ist, d. h. deren Elemente \(F_i\) mit solchen Zahlen \(d (F_i) \geqq 0\) versehen sind, daß \(d(F_i) < d (F_j)\) aus \(F_ i \subset F_j\) folgt. So ergibt sich u. a. die Euler-Poincarésche Identität zwischen den Bettischen Zahlen von \(F\) und den Anzahlen der verschieden dimensionierten Elemente von \(D\); (infolge der formalen Dimensionierung dürfte diese Fassung der Euler-Poincaréschen Formel auch für Polyeder allgemeiner sein als die bisherigen Formulierungen). Alles dies gilt unter Zugrundelegung eines kompakten Koeffizientenbereiches; für beliebige Koeffizientenbereiche muß man die gewöhnlichen Bettischen Gruppen durch die “echten” Bettischen Gruppen ersetzen (§ 1); für lokal zusammenhängende Kompakten ist diese Unterscheidung nicht nötig (§ 3).
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Full Text: EuDML