Über den Brouwerschen Dimensionsbegriff. (German) JFM 63.0561.02

Alexandroff, P.; Hopf, H.; Pontrjagin, L.

Compositio math., Groningen, 4, 239-255 (1937).

Die kombinatorische Definition der Dimension von Kompakten, die P. Alexandroff (Ann. Math., Princeton, (2) 30 (1928), 101-187; Math. Ann. 106 (1932), 161-238; F. d. M. 54, 609; 58\(_{\text{I}}\), 624) begründet hat, wird hier von Neuem mit der mengentheoretischen (Brouwerschen) verknüpft. Die Methoden sind ungefähr dieselben wie in der zweiten zitierten Arbeit von Alexandroff.
\(\varDelta_{\mathfrak J}(F)\) heißt, wenn \(\mathfrak J\) eine abelsche Gruppe ist, die größte Zahl \(r\), für die es im Kompaktum \(F\) einen wesentlichen (d. h. nicht in seinem Träger berandenden) \((r - 1)\)-dimensionalen wahren Zyklus in bezug auf \(\mathfrak J\) gibt; verlangt man von dem Zyklus noch, daß er in seinem Träger konvergiert, so kommt man zu der Zahl \(\varDelta_{\mathfrak J}^c \leqq \varDelta_{\mathfrak J}(F)\).
\(\varLambda_{\mathfrak J}(F)\) ist definiert als die größte Zahl \(r\), für die es in \(F\) einen \(r\)-dimensionalen Zyklus bis auf \(F'\) (eine geeignete abgeschlossene Teilmenge von \(F\)) gibt, der bis auf \(F'\) nicht berandet; analog ist \(\varLambda_{\mathfrak J}^c(F)\) \((\leqq \varLambda_{\mathfrak J}(F))\) definiert.
\(\varDelta (F)\) und \(\varLambda (F)\) schließlich sind wie \(\varDelta_{\mathfrak J}(F)\) und \(\varLambda_{\mathfrak J}(F)\) definiert, nur ist der Koeffizientenbereich variabel und zwar das System der Restklassen der ganzen Zahlen \(\mod m\) \((= 2, 3,\ldots)\). Man weiß, daß \[ \dim = \varDelta = \varLambda \] ist und daß für die Koeffizientenbereiche der rationalen Zahlen und der Restklassen \(\mod m\) \((= 2, 3,\ldots)\) gilt: \[ \varDelta_{\mathfrak J} = \varDelta_{\mathfrak J}^c =\varLambda_{\mathfrak J} = \varLambda_{\mathfrak J}^c. \] Hier wird für den Koeffizientenbereich \(\mathfrak R_1\) der rationalen Zahlen \(\mod 1\) bewiesen: \[ \dim = \varDelta_{\mathfrak R_1} = \varDelta_{\mathfrak R_1}^c=\varLambda_{\mathfrak R_1} = \varLambda_{\mathfrak R_1}^c. \] Beim Beweis spielt ein Konvergenzsatz eine wichtige Rolle: Zu gegebenem \(F' \subset F\) und \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\sigma_{\varepsilon}\), so daß jeder \(\sigma_{\varepsilon}\)-Zyklus in \(F\) bis auf \(F'\) (Koeffizientenbereich \(\mathfrak R_1\)) \(\varepsilon\)-homolog ist bis auf \(F'\) einem bis auf \(F'\) konvergenten Zyklus aus \(F\).

Reviewer: Freudenthal, H., Dr. (Amsterdam)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.