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Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale. (French) JFM 63.0569.04
Actual. sci. industr. 551, 39 p. (Publications de l’institut mathématique de l’université de Strasbourg) (1937).
Die uniforme Struktur eines Raumes \(R\) wird bewirkt durch die Zuordnung der verschiedenen Umgebungen der verschiedenen Punkte von \(R\) zueinander. Dies kann so geschehen: Es liegt ein System \(\mathfrak s\) von Indices \(\sigma\) vor; jedem \(x \in R\) und \(\sigma\in \mathfrak s\) ist eindeutig ein \(U_\sigma(x)\subset R\) (\(\sigma\)-Umgebung von \(x\)) zugeordnet. Für \(y \in R\) sei \(U_\sigma^* (y) = \sum\limits _{y\in U_\sigma (x)}x,\) und für \(M\subset R\) werde \(U_\sigma (M) = \sum \limits _{x\in M}U_\sigma (x)\) gesetzt. Axiome sind: Für jedes \(x \in R \) gelte: (1) \(\prod\limits_{\sigma\in\mathfrak s} U_\sigma (x) = x\). – (2) Zu \(\sigma_1, \sigma_2\in\mathfrak s\) gibt es ein \(\sigma_3\in \mathfrak s\) mit \[ U_{\sigma _3}(x)\subset U_{\sigma_1}(x)U_{\sigma _2}(x). \] (3) Zu \(\sigma_1\in \mathfrak s\) existiert ein \(\sigma_2\in \mathfrak s\) mit \(U_{\sigma_2}(U_{\sigma_2}^*(x))\subset U_{\sigma _1}(x)\). Man kann \(\{U_\sigma(x)\}\) auffassen als ein System von (mehrmehrdeutigen) Abbildungen des Raumes \(R\) auf sich, wobei \(U_{\sigma}^* (x)\) die Umkehrung von \(U_\sigma (x)\) bedeutet. (Diese Abbildungen lassen sich auch deuten als Punktmengen \(V_\sigma\) in \(R^2 = R \times R\), welche die “Diagonalmenge” \(\varDelta\) aller \((x, x), x\in R\), überdecken). Ist \(U^*_\sigma (x)= U_\sigma(x)\), so hat man ein symmetrisches System; \(W_\sigma (x) = U_\sigma (x) U_\sigma^* (x)\) ist ein zu \(U_\sigma (x)\) äquivalentes symmetrisches System. Man kann auch mit Hilfe von Überdeckungen uniforme Raumstrukturen erzeugen. Bei topologischen Gruppen kommt noch ein viertes Axiom hinzu, welches die Äquivalenz der \(U_\sigma(x)\) bei Transformation durch die Gruppenoperationen ausdrückt. -Jeder uniforme Raum \(R\) ist vollregulär und einer in einem durch \(R\) im wesentlichen eindeutig bestimmten vollständigen Raum \(\tilde{R}\) überall dichten Teilmenge isomorph. (Jede auf einer Teilmenge \(A\) eines uniformen Raumes gleichmäßig stetige Abbildung \(f\) in einen vollständigen uniformen Raum läßt sich auf \(\bar{A}\) gleichmäßig stetig erweitern.) Wegen der Vollregularität von \(R\) sind die Tychonoffschen Ergebnisse (Math. Ann. 102 (1929), 544-561; JFM 55.0963.*) anwendbar; jeder kompakte Raum ist einer uniformen Struktur fähig, und diese ist durch die topologische Struktur des Raumes eindeutig bestimmt. Damit die Vervollständigung \(\tilde{A}\) des uniformen Raumes \(A\) kompakt sei, ist notwendig und hinreichend, daß man zu jedem \(\sigma\in \mathfrak s\) endlich viele Punkte \(x_i\subset A \) angeben kann mit \(A\subset \sum\limits _iU_\sigma (x_i)\). Ein zusammenhängender, im kleinen kompakter topologischer Raum ist dann und nur dann ein uniformer Raum mit der Eigenschaft, daß für ein gewisses \(\sigma_0 \in \mathfrak s\) alle \(U_{\sigma _0}(x)\), \(x \in R\), kompakt sind, wenn er “im Unendlichen abzählbar” ist. Schließlich behandelt Verf. das Problem der vollständigen Erweiterung bei topologischen Gruppen.