×

Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a curve-sezioni canoniche. (Italian) JFM 63.0630.03

Die Arbeit setzt die Untersuchung derjenigen \(V{}_3^{2p-2}\) eines \(S_{p+1}\) fort, deren Schnitte mit den \(S_{p-1}\) kanonische Kurven \(C^{2p-2}\) vom Geschlechte \(p\) der \(S_{p-1}\) sind (Scr. mat. off erti a L. Berzolari, 1936, 329-349; JFM 62.0780.*) und deren sämtliche Geschlechter null sind. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: Solche \(V{}_3^{2p-2}\) existieren nur für \(p\leqq 37\); sie sind für \(p > 10\) alle rational, ausgenommen die noch zweifelhafte Mannigfaltigkeit des Falles \(p=13\), die das System der \(V{}_2^6\) eines \(S_{4}\) darstellt, welche auf einer allgemeinen \(V{}_3^3\) von allen \(V{}_3^2\) dieses Raumes ausgeschnitten werden. Zweifelhaft ist die Rationalität der untersuchten \(V{}_3^{2p-2}\) also nur für \(5\leqq p\leqq 10\) und \(p = 13\), obgleich unter diesen spezielle rationale Typen nachweisbar sind. Für die höchsten Werte von \(p\geqq 28\) werden überdies die Linearsysteme bestimmt, mittels derer sie auf einen \(S_{3}\) abbildbar sind. Diese Mannigfaltigkeiten enthalten entweder gar keine Geraden, oder nur isolierte Ebenen und eventuell eine Doppelgerade.
Die Untersuchung gliedert sich darnach, ob die \(C^{2p-2}\) eine Linearschar \(g_3^1\) tragen oder nicht; im ersten Falle enthält die \(V{}_3^{2p-2}\) ein Büschel kubischer Flächen und ist die Schnittmannigfaltigkeit einer von \(\infty ^1\) \(S_{3}\) erzeugten \(V{}_4^{p-2}\) mit einer durch \(p - 4\) dieser \(S_3\) gehenden kubischen Form. Der zweite, wichtigere Fall erfordert eine Einteilung der \(V{}_3^{2p-2}\) in drei Typen, je nachdem auf der allgemeinen Hyperebenenschnittfläche \(F^{2p-2}\) alle vorkommenden linearen Kurvensysteme ganze Vielfache des Systems der \(C^{2p-2}\), oder eines einzigen \(k\)-ten Teilsystems der \(C^{2p-2}\) sind, oder schließlich sich aus mehreren verschiedenen Teilsystemen des Systems der \(C^{2p-2}\) und deren Vielfachen zusammensetzen. Die \(V{}_3^{2p-2}\) der ersten Art enthalten \(\infty ^1\) Geraden und \(\infty ^2\) Kegelschnitte; die Ordnung der von den Geraden erzeugten Regelfläche, sowie die Zahl der Treffgeraden mit einer festen unter den \(\infty ^1\) Geraden nimmt mit wachsendem \(p\) rasch ab; für \(p > 23\) ist letztere null. Alle diese Mannigfaltigkeiten sind für \(p > 10\) rational. Die \(V{}_3^{2p-2}\) der zweiten Art enthalten keine Geraden; auf ihnen ist das Linearsystem der \(F^{2p-2}\) Vielfaches eines geringeren linearen Systems rationaler Flächen, die sich in elliptischen oder rationalen Kurven schneiden. Schließlich enthalten die \(V{}_3^{2p-2}\) der dritten Art isolierte Ebenen und möglicherweise Regelflächen.

Citations:

JFM 62.0780.*
PDFBibTeX XMLCite