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Zur Existenztheorie und Klassifikation totalisotroper Flächen. (German) JFM 63.0658.04
Auf jeder totalisotropen Fläche des euklidischen \(R_n\) \[ \mathfrak x = \mathfrak x (u,v),\quad d\mathfrak x^2 =0\, \] deren Kurven nicht sämtlich mehrfach isotrop sind, die also selbst nicht mehrfach totalisotrop ist, gehen durch jeden Punkt im allgemeinen vier zweifach isotrope Kurven (\(\mathfrak x^{\prime 2} = \mathfrak x^{\prime\prime 2} = 0\)). Je nachdem, ob von diesen vier Kurven in jedem Flächenpunkt alle vier, drei, je zwei, nur zwei zusammenfallen oder, wenn sie alle vier getrennt sind, ihr Doppelverhältnis harmonisch, äquianharmonisch oder beliebig ist, kann man sieben Arten von solchen Flächen unterscheiden. Da die für \(n\leqq 6\) auftretenden Möglichkeiten schon bekannt sind, untersucht Verf. die Fälle \(n = 7,8, 9\). Es zeigt sich, daß bei der ersten Flächenart im \(R_7\) und \(R_8\) nur drei- und vierdimensionale Schmiegräume auftreten, erst im \(R_9\) auch fünfdimensionale, bei der zweiten und fünften im \(R_7\) nur vierdimensionale, erst im \(R_8\) auch fünfdimensionale, während bei den übrigen Arten überhaupt nur fünfdimensionale, und zwar schon im \(R_7\), auftreten. Manche dieser Ergebnisse wurden schon von E. Bompiani (Accad. Ital. Mem. Cl. Sci. fis. mat. nat. 6\(_{\text{I}}\) (1935), 269-520; JFM 61.0791.*-795) auf anderem Wege bewiesen.
Citations:
JFM 61.0791.*
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Full Text: EuDML