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Über die isolierten Nullstellen der Flächenkrümmung und einige Verbiegbarkeitssätze. (German) JFM 63.0663.03

In einem Flächenpunkt \(O\) negativer Krümmung laufen bei horizontaler Tangentenebene zwei Täler und zwei Bergrücken zusammen; \(O\) heißt dann ein “Sattelpunkt erster Ordnung”. Verschwindet die Krümmung in \(O\), während sie in der Umgebung von \(O\) negativ ist, so kann die Anzahl der Täler größer als 2 sein; \(O\) ist ein Sattelpunkt der Ordnung \(s\), wenn die Anzahl der Täler \(s + 1\) ist. Beim einmaligen positiven Umlaufen von \(O\) machen sowohl die Richtungen jedes der beiden Felder von Haupttangenten als auch diejenigen jedes der beiden Felder von Hauptkrümmungsrichtungen die Drehung \((1 - s) \pi \). Dadurch z. B. ist ein Sattelpunkt der Ordnung \(s\) gekennzeichnet. Verf. beweist nun: Die Sattelordnung \(s\) ist invariant bei stetiger Verbiegung; sie ist aber nicht invariant gegenüber beliebigen isometrischen Abbildungen; sie ist also keine innere Eigenschaft der Fläche. Durch diese Aussage wird zum ersten Mal bewiesen, daß zwischen stetiger Verbiegbarkeit und Isometrie wirklich ein Unterschied besteht. Frühere Ergebnisse von E. E. Levy (Atti Accad. Sci. Torino, Cl. I 43 (1908), 292-302; F. d. M. 39, 687 (JFM 39.0687.*)), welche nur den Fall nirgends verschwindender Krümmung behandeln und in diesem Fall den Unterschied verwischen, werden hier wieder bewiesen und zu der obigen Aussage ergänzt. Schließlich zeigt Verf.: Es gibt gewisse Flächen mit einem Sattelpunkt beliebig hoher Ordnung \(s\). Auf zu ihnen isometrischen Flächen haben die entsprechenden Punkte entweder die Ordnung 1 (solche Flächen gibt es stets) oder \(s\).

Citations:

JFM 39.0687.*