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Zur Addition beweglicher ebener Eibereiche. (German) JFM 63.0672.03

Während der Umfang \(L\) des Summenbereichs \(K = K_1 + K_2\) zweier Eibereiche \(K_i\) gegenüber Bewegungen der \(K_i\) gegeneinander invariant ist, \(L = L_1+L_2\), ist sein Inhalt \(F\) und entsprechend der Mischinhalt \(F_{12}\) von \(K_1\) und \(K_2\) dabei veränderlich. Verf. gibt notwendige und hinreichende Bedingungen an, unter denen bei beliebigen Bewegungen der \(K_i\) keine Veränderung von \(F\) auftritt. Dies ist z. B. für einen Mittelpunktsbereich \(K_1\) und einen Bereich fester Breite \(K_2\) der Fall. Das isoperimetrische Defizit \(D (\lambda )\) in einer Linearschar \(\lambda K_1+(1-\lambda )K_2 = K (\lambda )\) stellt sich durch \(D (1)=D_{11}\) und \(D (0)=D_{22}\) in der Form dar \[ D(\lambda ) =\lambda ^2 D_{11}+2\lambda (1-\lambda ) D_{12} +(1-\lambda ^2) D_{22}, \] wobei das “Mischdefizit” \(D_{12}\) absolut genommen der bewegungsabhängige Bestandteil von \(F_{12}\) ist. \(\sqrt {D(\lambda )}\) ist dabei wie \(D (\lambda )\) selbst eine konvexe Funktion von \(\lambda \). Die Menge der Lagen des so bewegten \(K_2\), daß \(K_2\) mit dem festen \(K_1\) Punkte gemein hat, wird durch das Integral \(A\) über der kinematischen Dichte des bewegten \(K_1\) gemessen. \(\dfrac {A}{2\pi }\) ist der bewegungsinvariante Teil von \(F\), wie sich aus einer Formel von Santaló aus der Integralgeometrie ergibt. \(F\) besitzt bei einer vollen Umdrehung von \(K_2\) und festem \(K_1\) mindestens vier Extremwerte, \(D_{12}\) mindestens vier Nullsteilen.

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