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Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective. (French) JFM 63.0689.05
VI + 305p. Paris, Gauthier-Villars (Cahiers scientifiques, fasc. XVII) (1937).
Dieses Buch ist die Wiedergabe einer Vorlesungsreihe des Verf. aus den Jahren 1934-1935 über die Theorie der Räume mit projektivem Zusammenhang. Außer einer neuen Darstellung dieser vom Verf. selber entworfenen Theorie (Bull. Soc. math. France 52 (1924), 205-241; F. d. M. 50, 500 (JFM 50.0500.*)-501) in Teil II gibt Verf. in Teil I eine ausführliche Darstellung einiger grundlegenden Dinge der gewöhnlichen projektiven Differentialgeometrie auf der Geraden, in der Ebene und im projektiven \(S_3\). Diese Ausführungen haben vor allem didaktischen Zweck und dienen durch die eingeführten Begriffe und Methoden in analytischer und geometrischer Hinsicht als Vorbereitung für den zweiten Teil. Das Werk ist reich an Interessantem, zum Teil ganz Neuem und jedenfalls Originalem. Der Verf. schließt vorwiegend an seine Arbeit von 1924 an und verfährt unabhängig von der ausgedehnten sonstigen Literatur über denselben Gegenstand. Verschiedene Neuarbeiten in Methoden und Ergebnissen, Einfachheit und Klarheit der Darstellung machen die Lektüre des Werks, das nicht viel geometrische und formale Vorkenntnisse voraussetzt, sehr interessant. Im ersten Teil werden als erstes und einfachstes Beispiel für die Charakterisierung eines Elements in einer Ebene bezüglich der projektiven Gruppe zunächst (Kap. I) die projektiven Eigenschaften der Bewegungen auf einer Geraden besprochen. Daran schließen sich verschiedene invariante Differentialgleichungen an, zu denen die verschiedenen Allen, projektive Invarianten zu suchen, und die Bedingungen für projektive Äquivalenz Anlaß geben, ferner besonders die Methode von Wilczynski, die auf der Einführung geeigneter Normalkoordinaten beruht und die Methode des beweglichen Bezugssystems, die die Hauptgrundlage der Untersuchungen sowohl in diesem Band als auch in einem großen Teil der geometrischen Publikationen des Verf. bildet. Dieselben Methoden, besonders die zweite, dienen im Kap. II zu einer ausführlichen und tiefen Untersuchung der projektiv-differentialgeometrischen Eigenschaften der Kuryen in der Ebene. Von Neuartigem sei nur erwähnt: die Projektivevolute erster, zweiter und dritter Art; mittels der ersten die geometrische Einführung eines projektiven Parameters auf einer ebenen Kurve und das sehr ins einzelne gehende Studium der zu den Umgebungen der sukzessiven Ordnungen der Punkte auf einer Kurve gehörigen Bezugssysteme. Kürzer entwickelt Verf. im Kap. III die ersten Begriffe der projektiven Differentialgeometrie der Flächen im \(S_3\) und führt die wichtigsten zugehörigen geometrischen und analytischen Begriffe (Asymptoten, Liesche Quadriken, Normalformen von Fubini und projektiven Linienelement,\(\ldots\)) ein. Auch hier basiert die Untersuchung im wesentlichen auf der Methode des beweglichen Bezugssystems und daher auf der Charakterisierung der zu den sukzessiven Umgebungen eines Punktes auf einer Fläche gehörigen Bezugssysteme, und zwar bis zur vierten Ordnung. Verf. kommt bis zu den hauptsächlichsten Begriffen und einigen fundamentalen Sätzen (vgl. S. 152, 154) über projektiv abwickelbare Flächen.
Im zweiten Teil beginnt der Verf. (Kap. I) mit der Einführung des Begriffs der Mannigfaltigkeit mit projektivem Zusammenhang. Vorausgeschickt wird eine spezielles und wohlbekannte geometrische Konstruktion für eine Fläche im \(S_3\) (vgl. Verf., C. R. Acad. Sci., Paris, 178 (1924), 750-752; F. d. M. 50, 480 (JFM 50.0480.*)). Beim Übergang zum allgemeinen Fall – wo es sich darum handelt, einer an sich betrachteten \(X_n\) einen projektiven Zusammenhang zu geben -gibt der Verf., anstatt auf seine ursprüngliche infinitesimal-geometrische Definition zurückzugehen, den projektiven Zusammenhang analytisch durch eine Matrix \(\omega_\beta^\alpha\), deren Elemente, Pfaffsche Formen in \(n\) Variablen, dazu dienen, zu einer bestimmten Kurve \(C\) der \(X_n\) eine Abwicklung (bestimmt bis auf projektive Transformationen) in einem projektiven Raum zu konstruieren mit den zu ihren Punkten gehörigen Bezugssystemen in den entsprechenden Tangentialräumen. Ein solches Gesetz der Abwicklung gibt die Möglichkeit, viele auf Räume mit projektivem Zusammenhang bezügliche Probleme zurückzuführen auf analoge Probleme für gewöhnliche projektive Räume. Im Kap. II gibt ein gründliches Studium des Falles, daß die oben genannte Kurve \(C\) ein infinitesimaler Zyklus ist, Anlaß zu einer ausdrücklichen und präzisen Charakterisierung des lokalen Unterschieds zwischen einem Raum mit projektivem Zusammenhang und einem projektiven Raum: sowohl falls der erste Krümmung und Torsion besitzt, als auch falls er ohne Torsion oder auch ohne Krümmung ist. Die Begriffe Krümmung und Torsion werden wieder aufgenommen im Kap. III nach einer Abschweifung über den Tensorkalkül in der projektiven Geometrie. Indem Verf. an die von ihm in anderen neueren Arbeiten (s. Rec. math., Moscou 42 (1935), 131-148 (JFM 61.0816.*) und die nachstehend besprochene Arbeit) ausgeführten Gesichtspunkte wieder anknüpft, bringt er einen sehr allgemeinen Begriff des Tensors, der den üblichen des affinen und projektiven Tensors umfaßt und verallgemeinert, und ein auf gewisse einfachere Typen von “Tensoren” beschränktes Gesetz der Kovarianten Ableitung, das auf einen “Tensor” angewandt, tatsächlich nicht einen neuen Tensor ergibt, sondern ein System, dessen Komponenten mit denen des ursprünglichen Tensors zusammen einen Tensor bilden (der in einem gewissen Sinn übrigens auch bei einigen von anderen Autoren eingeführten “projektiven Ableitungen” auftritt). Nach dieser Tensoranalysis führt Verf. die projektiven Normalkoordinaten in bezug auf einen bestimmten Punkt in einem Raum mit projektivem Zusammenhang ein und benutzt sie, um ein interessantes Resultat über die Bestimmung eines Raumes mit projektivem Zusammenhang aus seinem Krümmungs- und Torsions- tensor und seinen sukzessiven kovarianten Ableitungen herzuleiten (S. 222). Im folgenden Kap. IV bringt er dann die Identitäten von Bianchi für den vorher eingeführten Tensor mit ihrer geometrischen Bedeutung; im Kap. V führt er den normalen projektiven Zusammenhang in bezug auf ein bestimmtes Differentialsystem zweiter Ordnung ein und gewinnt bei dieser Gelegenheit aufs neue den bekannten Satz von Beltrami über die geodätisch auf die Ebene abbildbaren Flächen. Endlich entwickelt Verf. in dem ganz neuen Kap. VI eine erste Untersuchung über die projektive Differential-geometrie einer Fläche in einem dreidimensionalen Raum mit projektivem Zusammenhang, indem er den Unterschied zu dem Fall, daß der Raum projektiv ist, hervorhebt (ein Unterschied, der sich z. B. an dem im allgemeinen nicht involutorischen Charakter der konjugierten Tangenten zeigt). Im Kap. VII studiert er die zu einem allgemeinen Punkt des Raums mit projektivem Zusammenhang gehörige Holonomiegruppe und beweist über eine solche Gruppe verschiedene interessante Sätze, mit denen man das Problem der Bestimmung eines Raums mit vorgegebener Holonomiegruppe in Angriff nehmen kann, ein Problem, dessen Lösung einem auf die wichtigeren Arbeiten über den Gegenstand beschränkten Literaturverzeichnis. (V 6 B, D.)