Zum Anfangswertproblem der Gravitationsgleichungen. (German) JFM 63.0704.02

Stellmacher, K.

Math. Ann. 115, 136-152 (1937).

Verf. nennt zwei Punkte “gleichzeitig”, wenn sie durch eine überall raumartige Linie verbunden werden können. Das Ziel dieser Arbeit ist, zu zeigen, daß der Wert einer Zustandsgröße, also die Lösung der Feldgleichungen, in einem Weltpunkte \(P\) nur von solchen Weltpunkten abhängt, die im Innern der in \(P\) konstruierten Zeitscheide liegen, und zwar in dem Teil, der in die Vergangenheit gerichtet ist. Als Hilfssatz wird zuerst bewiesen, daß die Differentialgleichung \[ f + a^{ik}(x,u,u_j)u_{ik} = 0, \quad \left(u_i = \dfrac{\partial u}{\partial x^i}, \;u_{ij} = \dfrac{\partial^2u}{\partial x^i\partial x^j}\right), \] wo die zu \(a^{ih}\) gehörige quadratische Form den Index \(- - - +\) hat, nur eine Lösung gestattet, welche auf einer “raumartigen” Anfangsmannigfaltigkeit \[ F=0 \qquad (a^{ij}\partial_iF\partial_jF > 0) \] gegeben ist und dort gegebene erste Ableitungen hat. Überdies wird gezeigt, daß der Wert in einem Punkte \(P\) nur von den Anfangswerten innerhalb der charakteristischen Kegel abhängt. Mit Hilfe dieses Theorems wird das genannte Problem gelöst für (1) beliebige elektrische und gravitierende Felder im leeren Raum, (2) reine Gravitationsfelder, die stetig verteilter Materie überlagert sind. In diesen beiden Fällen können sich also “gleichzeitig” gelegene Punkte gegenseitig nicht beeinflussen.

Reviewer: Haantjes, J., Dr. (Amsterdam)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Differentialgeometrie in allgemeinen Räumen. Feldtheorie.

References:

[1]	Siehe Hilbert, Math. Annalen92, S. 11ff. ? Ges. Abh. Bd. III, S. 268ff.
[2]	Ber. d. Berl. Akad. d. Wiss. 1916, S. 688, und 1918, S. 154; siehe dazu die Bemerkungen und Bedenken von Eddington, Relativitätstheorie in math. Behandlung (Berlin 1925), §57.
[3]	Compt. rend.166 (1918); siehe hierzu auch Levi-Civita, Atti d. Linc.11 (1930), S. 1.
[4]	La gravifique Einsteinienne (Paris 1921), S. 40-41.
[5]	Siehe die in Fußn. 1) zit. Arbeit. Math. Annalen92, S. 11ff.
[6]	Math. Annalen98, S. 192ff.
[7]	Daß wireine bestimmte zweite Lösung ins Auge fassen, darin liegt das Neue gegenüber Friedrichs und Lewy.
[8]	Naheres siehe in der Originalarbeit.
[9]	La gravifique Einsteinienne (Paris 1921), S. 40/41.
[10]	Phys. Zeitschr.23 (1921), S. 537ff.
[11]	Mém. des Sc. Math.25 (1926), S. 14-19.
[12]	Siehe Hilbert, l. c. Math. Annalen92, S. 11ff.
[13]	Le problème de Cauchy, App. 1. ? Dort ist der Existenzbeweis nur für Gleichungen mit analytischen Koeffizienten durchgeführt. Doch macht es, wie Hadamard selbst bemerkt, keine wesentliche Schwierigkeit, diese Voraussetzung zu überwinden.
[14]	v. Laue, Phys. Zeitschr.21 (1920), S. 659ff.; siehe auch Rel. Theor. Bd. II, 1. Aufl., S. 148.
[15]	l.c.
[16]	Dahingehende Versuche scheiterten an der Form der Divergenzgleichung der Materie, die sich überhaupt in unserem Sinne bei der Behandlung als unangenehm erweist.
[17]	Vgl. Kap. 2, Fig. 1.