Relativistic hydrodynamics. (English) JFM 63.0764.03

Synge, J. L.

Proc. London math. Soc. (2) 43, 376-416 (1937).

Die Arbeit behandelt die Hauptsätze der Hydrodynamik einer idealen Flüssigkeit in der allgemeinen Relativitätstheorie mit dem bemerkenswerten Ergebnis, daß ein großer Teil der klassischen Sätze seine Geltung behält. Zunächst läßt sich eine rein kinematische Theorie abspalten, die die Geometrie der Stromlinienkongruenzen in einem Riemannschen Raume der Signatur \(+\,+\,+\;-\) ohne Benutzung der Feldgleichungen zum Gegenstande hat; aus dem Tangenten- oder Geschwindigkeitsvektor \(\lambda^i\) definiert man in bekannter Weise die kinematische Zirkulation \(C\) und den kinematischen Wirbeltensor \(\omega_{ij}\) und untersucht deren Verhalten für spezielle Strömungen, z. B. solche, deren Strömungslinien geodätisch sind. Die Kinetik benötigt die Einführung des Energietensors \(T_{ij}\), der sich im besonderen Falle der idealen Flüssigkeit mit der Bezeichnung \(p =\) Druck, \(\varrho =\) Energiedichte in die Form \[ T_{ij}=(\varrho+p)\,\lambda_i\lambda_j+pg_{ij} \] bringen läßt; die Erhaltungsgleichungen liefern vier unabhängige Beziehungen zwischen den fünf Größen: \(\varrho\), \(p\), Komponenten des Einheitsvektors \(\lambda^i\), bestimmen die Strömung also nur unter Hinzunahme einer Relation \(\varrho = f (p)\). Führt man dann die Indexfunktion \[ F(p) = \exp\left(\int\frac{dp}{\varrho+p}\right) \] ein, so sind die Stromlinien die Extremalen des Integrals \[ \varPhi=\int F\, ds, \] wobei \(p\) als gegebene Funktion angesehen wird. Mittels des Strömungsvektors \[ \varLambda^i=F\lambda^i \] definiert man die dynamische Zirkulation \(D\) und den Wirbeltensor \(\varOmega_{ij}\) ebenso, wie die entsprechenden kinematischen Größen aus \(\lambda^i\) hervorgingen, und findet den Satz, daß \(D\) auf einer aus Strom- oder Wirbellinien gebildeten Fläche, über einen nullhomologen Zykel erstreckt, verschwindet, was eine Erweiterung des Helmholtzschen Satzes darstellt. Das Strömungspotential, d. h. das längs der Stromlinien erstreckte Integral \(\varPhi\), erfüllt eine angebbare partielle Differentialgleichung.
Im letzten Abschnitt werden die Ergebnisse auf den nichtgekrümmten Riemannschen Raum spezialisiert; bei einer stationären Strömung gilt das verallgemeinerte Bernoullische Theorem, wonach die Summe der Quadrate des Absolutbetrages des Strömungsvektors und der Indexfunktion konstant ist längs einer Stromlinie, bzw. in der ganzen Flüssigkeit, wenn die Strömung wirbelfrei ist. Eine wirbelfreie Störung pflanzt sieh in einem solchen Raume mit der Geschwindigkeit \(\left(\dfrac{dp}{d\varrho}\right)^{\frac12}\) mal der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum fort; da für inkompressible Flüssigkeiten \(\dfrac{dp}{d\varrho}=\infty\) ist, deutet Verf. das Ergebnis dahin, daß eine untere Grenze der Kompressibilität existieren muß, damit stets \(\dfrac{dp}{d\varrho}\leqq1\) werde.

Reviewer: Geppert, H., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 4. Mechanik der Kontinua. B. Hydrostatik und Hydrodynamik. Hydraulik. Aerodynamik.