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Sur une conception nouvelle des forces intérieures dans un fluide en mouvement. (French) JFM 63.0777.01
84 p. Mém. Sci. math., fasc. 82 (1937).
Verf. nimmt daran Anstoß, daß in der bekannten Theorie der zähen Flüssigkeiten, laut der eine lineare Beziehung zwischen dem um den Druck verminderten Spannungstensor und dem Deformationstensor besteht, die genannte Differenz sofort null wird, sowie die Ursache, die Deformation, aufhört. Er schlägt deshalb vor, in die genannte Beziehung noch die zeitliche Ableitung des Spannungstensors aufzunehmen, und gewinnt im ersten Kapitel aus Gründen der Koordinateninvarianz und der Isotropie die Gleichungen: \[ \begin{aligned} \frac{dp_{xx}}{dt}&=-2\mu a_1-\lambda\omega-\frac{p_{xx}-p}T-\frac{p_m-p}{T'}+ 2(q_2p_{zx}-q_3p_{xy}),\dots,\\ \frac{dp_{yz}}{dt}&=-\mu c_1-\frac{p_{yz}}T+q_1(p_{yy}-p_{zz})+q_3p_{zx}-q_2p_{yx}, \dots, \end{aligned} \] wo \(\mu\), \(\lambda\), \(T\), \(T'\) Konstanten sind, \(a_1 =\dfrac{\partial u}{\partial x}\), \(c_1=\dfrac{\partial w}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial z}\), \(w = a_1+a_2+a_3\), \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) die halben Rotorkomponenten. \(p_m\) ist das arithmetische Mittel aus \(p_{xx}\), \(p_{yy}\) und \(p_{zz}\). Ref. ist zunächst der Meinung, daß auf der linken Seite die Differenzen \(p_{xx}-p\) usw. stehen müssen, da naturgemäß nur über diese etwas ausgesagt werden soll. Eine erste Folge dieser Annahme ist, wie im zweiten Kapitel gezeigt wird, die Möglichkeit von Diskontinuitäten zweiter Ordnung. Im dritten und größten Kapitel wird dann der Fall eines rotierenden Zylinders in einer solchen Flüssigkeit studiert. Das Wesentliche scheint Ref. zu sein, daß eine partielle Differentialgleichung vom hyperbolischen Typus erhalten wird (Gleichungen 36 und 71). Verf. bemerkt dazu auf Seite 41 und kommt darauf am Schlüsse noch einmal zurück, daß man die Gleichungen nur so lange als gültig ansehen dürfe, als die Winkelgeschwindigkeit auf null abnimmt. Wollte man sie weiter gelten lassen, so würde der Zylinder von selbst wieder anfangen, sich zu drehen. Dieses Paradoxon scheint Ref. daran zu liegen, daß die Gleichungen des Verf. mit dem Energieprinzip unverträglich sind, wenn man verlangt, daß eine zähe Flüssigkeit beständig Energie verzehren soll. Leider unterläßt Verf. eine Energiebilanz. Stellt man sie auf und setzt den positiven Ausdruck \[ {\sum}\tfrac12(p_{xx}-p)^2+p_{xy}^2=Q, \] so erhält man für die Leistung der zusätzlichen Spannungen \(p_{xx} - p\) usw., falls man noch wie üblich \(p = p_m\) setzt – leider üblich –: \[ 2\mu L'=\frac{dQ}{dt}+\frac tTQ, \] was positiv sein müßte, aber ersichtlich nicht immer positiv ist. Die Flüssigkeit des Verf. ist schwingungsfähig, daher die Möglichkeit der Diskontinuitätswellen, daher die hyperbolische Differentialgleichung für den rotierenden Zylinder.

Full Text: EuDML