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Topological representations of distributive lattices and Brouwerian logics. (English) JFM 63.0830.01
Im ersten Teil der Arbeit verallgemeinert Verf. seine Theorie der Booleschen Algebra (vgl. z. B.: Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 37-111; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 33; ferner: Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans. Amer. math. Soc. 41 (1937), 375-481 ; F. d. M. 63\(_{\text{II}}\)) auf die distributiven Verbände (“lattices”). Das sind arithmetische Systeme mit assoziativer sowie kommutativer Addition und Multiplikation, in denen überdies folgende Regeln gelten: \[ a(b+c)=ab+ac,\quad a+bc=(a+c)(b+c),\quad a+a=aa=a, \] und \(ab=a\) dann und nur dann, wenn \(a+b=b\) (man schreibt dann \(a\subset b\)). Die Operationen der Addition und Subtraktion sind in distributiven Verbänden einander dual. Zunächst entwickelt Verf. eine Idealtheorie. Wegen der Dualitätseigenschaft gibt es multiplikative (\(\mu\)) und additive (\(\alpha\)) Ideale. Jede nicht leere Teilmenge \(\mathfrak s\) eines distributiven Verbandes \(A\) erzeugt ein eindeutig bestimmtes Ideal \(\mathfrak a_\mu(\mathfrak s)\) bzw. \(\mathfrak a_\alpha(\mathfrak s)\), das kleinste \(\mathfrak s\) enthaltende \(\mu\)-Ideal bzw. \(\alpha\)-Ideal. Die Summe bzw. das Produkt von \(\mu\)-Idealen wird definiert als das von der Vereinigungsmenge erzeugte \(\mu\)-Ideal bzw. als der Durchschnitt. Zufolge dieser Festsetzung bildet die Gesamtheit der \(\mu\)-Ideale von \(A\) wieder ein distributiver Verband; Entsprechendes gilt für \(\alpha\)-Ideale. Die sämtlichen Haupt-\(\mu\)-Ideale (d. h. \(\mu\)-Ideale, die von einem einzigen Element aus \(A\) erzeugt werden) \(\mathfrak a_\mu(a)\) bilden einen distributiven Verband, der vermöge der Zuordnung \(a\leftrightarrow\mathfrak a_\mu(a)\) zu \(A\) isomorph ist. Es werden dann die Primideale behandelt. Ferner wird untersucht, wie sich die Idealstruktur ändert, wenn man zu einem distributiven Verband ein Null- und ein Einselement adjungiert. Es folgt nun die Darstellungstheorie. Jeder distributive Verband \(A\) kann isomorph abgebildet werden auf die Algebra eines gewissen Systems von Teilmengen der Menge \(\mathfrak E\) aller Prim-\(\mu\)-Ideale in \(A\), und zwar durch die Zuordnung \(a\leftrightarrow\mathfrak E(a)\), wobei \(\mathfrak E(a)\) die Menge derjenigen Prim-\(\mu\)-Ideale bezeichnet, die das Ideal \(\mathfrak a_\mu(a)\) nicht enthalten. Nach demselben Verfahren wie im Falle der Booleschen Algebra läßt sich \(\mathfrak E\) topologisieren, nachdem man ein Nullelement zu \(A\) adjungiert hat; dabei werden die Mengen \(\mathfrak E(a)\) die relativ bikompakten offenen Mengen in \(\mathfrak E\). Die topologische Struktur derartiger Räume wird vom Verf. näher gekennzeichnet.
Im zweiten Teil entwickelt Verf. eine Darstellungstheorie des intuitionistischen Aussagenkalküls. Er legt dabei die folgende Auffassungsweise zugrunde. Die Aussagen bilden eine Klasse \(A\), in der vier Operationen definiert sind: \(a\lor b\), \(a\land b\), \(a\supset b\), \(\lnot a\) (in der Heytingschen Bezeichnung). Eine Bewertung von \(A\) ist eine Zerlegung von \(A\) in disjunkte, nicht leere Teilmengen \(\mathfrak a\) (die behaupteten) und \(\mathfrak u\) (die nicht behaupteten Aussagen), wenn \(\mathfrak a\) die Heytingschen (formalen) Axiome enthält und gegenüber den “informalen” Regeln abgeschlossen ist. Die Menge aller Bewertungen, für die die Aussage \(a\) in \(\mathfrak a\) liegt, sei \(\mathfrak E(a)\). \(\mathfrak E\) bezeichne die Menge aller möglichen Bewertungen von \(A\). Man definiere nun jede Menge \(\mathfrak E(a)\) als Umgebung eines jeden Elements von \(\mathfrak E(a)\). Dadurch wird \(\mathfrak E\) zu einem \(T_0\)-Raum (in der Alexandroff-Hopfschen Terminologie). Ist umgekehrt \(\mathfrak S\) ein \(T_0\)-Raum und \(A\) ein System von offenen Mengen, welches, gegenüber den Operationen \(a\lor b=a+b\), \(a\land b=ab\), \(a\supset b=\overline{(ab')}\) und \(\lnot a=\bar a'\) (\(\bar a={}\)abgeschlossene Hülle, \(a'={}\)Komplement) abgeschlossen ist, und ist \(\mathfrak s\) ein beliebiger Punkt von \(\mathfrak S\), so kann man die Zerlegung von \(A\) in die Menge \(\mathfrak a\) aller offenen Mengen von \(A\), die \(\mathfrak s\) enthalten, und die Menge \(\mathfrak u\) aller offenen Mengen von \(A\), die \(\mathfrak s\) nicht enthalten, stets auffassen als eine Bewertung eines intuitionistischen Aussagensystems. Der Raum \(\mathfrak E\) ist abstrakt identisch mit dem Darstellungsraum eines distributiven Verbandes.

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Full Text: EuDML