×

Einige Sätze über Matrizen. (German) JFM 63.0842.03

Japan. J. Math. 13, 361-365 (1937); Collect. Papers Fac. Sci. Osaka Univ. A 5, No. 2, 5 p. (1938).
Über Matrizen der Determinante 1 und der Spur Null werden folgende Sätze be wiesen. Unter dem multiplikativen oder \(m\)-Kommutator der beiden regulären Matrizen \(A\) und \(B\) verstehe man die Matrix \(ABA^{-1} B^{-1}\); entsprechend sei ein additiver oder \(a\)-Kommutator durch \(AB - BA\) definiert. Dann gilt:
1) Jede Matrix der Determinante 1, deren Elemente einem algebraisch abgeschlossenen Körper entnommen sind, läßt sich in diesem Körper als \(m\)-Kommutator zweier Matrizen schreiben.
2) Ist der Körper reell abgeschlossen, so läßt sich darin jede Matrix der Determinante 1 als Produkt zweier \(m\)-Kommutatoren darstellen.
3) In einem beliebigen Körper der Charakteristik Null läßt sich jede Matrix der Spur Null als \(a\)-Kommutator zweier Matrizen darstellen.
Ein gruppentheoretisches Analogon von (2) wurde vom Ref. bewiesen (vgl. K. Schröder, Schr. math. Sem. Inst. angew. Math. Univ. Berlin 2 (1934), 111-149; Deutsche Math. 4 (1939), 201-225; JFM 60.0361.*; 65). Beim Beweise von (3) wird der Hilfssatz benutzt, daß eine Matrix der Spur Null einer Matrix ähnlich ist, deren Diagonalelemente sämtlich verschwinden.

Citations:

JFM 60.0361.*
PDF BibTeX XML Cite