Studies on multiplicative systems. I, II. (English) JFM 63.0869.03

Borůvka, O.

Publ. Fac. Sci. Univ. Masaryk, Brno, 245, 15 p; 265 (1938), 24p (1938).

I. Bei den hier betrachteten multiplikativen Systemen ist jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein drittes Element als Produkt zugeordnet; diese Multiplikation ist assoziativ. Ist \(\mathfrak M\) ein solches System, so bezeichne \(\mathfrak M^\varrho\) die Menge aller derjenigen Elemente aus \(\mathfrak M\), die sich als Produkt von \(\varrho\) gleichen oder verschiedenen Faktoren aus \(\mathfrak M\) darstellen lassen. Werden die Teilmengen \(M_\varrho\) von \(\mathfrak M\) definiert durch \[ \mathfrak M^\varrho = \mathfrak M^{\varrho+1} \dot + M_\varrho, \quad \mathfrak M^{\varrho+1} \frown M_\varrho = 0 \qquad (\varrho = 1,2, \ldots), \] so sind zwei Fälle denkbar: Entweder gibt es eine Zahl \(\nu\), so daß \(M_\nu = 0\), aber \(M_\mu\neq 0\) für \(\mu < \nu\), oder kein \(M_\varrho\) ist leer. Im ersten Falle heißt \(\mathfrak M^\nu\) der Kern von \(\mathfrak M\).
In der vorliegenden Arbeit beschränkt sich Verf. auf den zweiten Fall, d. h. er betrachtet Systeme ohne Kern; diese können auch dadurch gekennzeichnet werden, daß es zu jedem Element \(a\) aus \(\mathfrak M\) eine Zahl \(\alpha\) gibt derart, daß \(a\) Produkt von \(\alpha\), aber nicht von mehr Elementen aus \(\mathfrak M\) ist. Die Eigenschaft, keinen Kern zu haben” ist notwendig dafür, daß sich \(\mathfrak M\) homomorph abbilden läßt auf das durch ein Element \(z\) erzeugte unendliche zyklische System \(\mathfrak Z=\{z,z^2,z^3,\ldots\}\).
II. Auch hier werden durchweg Systeme ohne Kern betrachtet. \(\mathfrak M\) sei ein solches System und \(A\) eine Teilmenge davon. \[ A = A_1 \overset {.} + A_2 \overset {.} + \cdots \tag{1} \] sei eine Zerlegung von \(A\) in paarweise elementefremde Untermengen. Für \(\alpha=1\), 2, …werde \(W_\alpha = \sum A_{\nu_1}A_{\nu_2} \cdots A_{\nu_\varrho}\) gesetzt, wobei die Summation zu erstrecken ist über alle Zahlen \(\nu_1\), …, \(\nu_\varrho\) mit \(\nu_1 + \cdots +\nu_\varrho = \alpha\). Die Zerlegung (1) heißt erzeugend, wenn \(A_1\) nicht leer ist und \(W_\alpha\) und \(W_\beta\) für \(\alpha \neq \beta\) kein Element gemeinsam haben. Es gilt der Satz, daß sich ein System \(\mathfrak M\) dann und nur dann auf das unendliche zyklische System \(\mathfrak Z\) homomorph abbilden läßt, wenn es eine erzeugende Zerlegung von \(M_1\) gibt. Ein weiterer Teil der Arbeit ist dem Studium des Aufbaus multiplikativer Systeme gewidmet. Wegen der Ergebnisse dieses Teiles muß jedoch auf die Arbeit selbst verwiesen werden.

Reviewer: Kochendörffer, R., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Abstrakte Algebra. B. Verbände, Ringe, Körper.