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Algebraic characterizations of special Boolean rings. (English) JFM 63.0872.02
Diese Arbeit kann als ein Versuch zur algebraischen Behandlung eines topologischen Problems angesehen werden; Verf. bemerkt nämlich, daß die hier studierte Klassifikation der Booleschen Ringe mit der Klassifikation der total unzusammenhängenden lokal-bikompakten Hausdorffschen Räume gleichbedeutend ist. Allerdings erweist sich, wie Verf. bemerkt, diese rein algebraische Behandlungsweise als nicht sehr erfolgreich.
Zweitens macht Verf. darauf aufmerksam, daß die Theorie der Ideale in den Booleschen Ringen mit der Theorie der deduktiven Systeme von A. Tarski (Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 503-526; 26 (1936), 283-301, F. d. M. \(62_{\text I}\), 38) gleichbedeutend ist. Besonderes Interesse haben in diesem Zusammenhang die abzählbaren Booleschen Ringe.
Vorliegende Arbeit basiert auf einer früheren von Stone (Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 37-111; F. d. M. \(62_{\text I}\), 33). Darin wurden bereits die wichtigen Klassen \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P^*\), \(\mathfrak S\), \(\mathfrak N\), \(\mathfrak J\) von Idealen eingeführt, nämlich bzw. die Klasse der Hauptideale, Halbhauptideale, einfachen Ideale, normalen Ideale und der Ideale überhaupt. In § 1 beweist Verf. einige Theoreme über diese Klassen und stellt eine Reihe von Tabellen auf, die angeben, wann gewisse zusammengesetzte Ideale, wie z. B. \(\mathfrak a \lor \mathfrak b\), zu \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P^*\), \(\mathfrak S\), \(\mathfrak N\), \(\mathfrak J\) gehören, wenn die zusammensetzenden Ideale (im Beispiel \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\)) zu \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P^*\) usw. gehören.
In § 2 betrachtet er die total additiven und total multiplikativen Ringe, d. h. solche, worin jede Menge von Elementen eine Summe bzw. ein Produkt hat. Beispielsweise sei folgendes Theorem erwähnt: Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: Ein Ring \(A\) ist total multiplikativ, jedes normale Ideal von \(A\) ist einfach, jedes Hauptideal von \(A\) ist total additiv.
In § 3 wird ein Begriff “Barrierideal” eingeführt. In § 4 folgen die topologischen Anwendungen.
Die Paragraphen 5-8 enthalten algebraische Charakterisierungen von endlichen Ringen und von Ringen gewisser wichtiger Typen. In § 9 werden die abzählbaren Booleschen Ringe behandelt. In § 10 wird wieder die allgemeine Klassifikation der Ideale studiert und werden zwei Tabellen aufgestellt. In § 11 werden einige besondere Ideale behandelt, und in § 12 wird bewiesen, daß die allgemeinen Ergebnisse in § 1 die bestmöglichen sind. (II.)

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Full Text: EuDML