Abstract derivation and Lie algebras. (English) JFM 63.0873.03

Jacobson, N.

Trans. Am. Math. Soc. 42, 206-224 (1937).

Verf. betrachtet die Derivationen einer distributiven Algebra \(\mathfrak R\) über einem Körper \(\mathfrak F\) mit der Charakteristik \(p\), das sind die linearen Transformationen \(D\) des \(\mathfrak F\)-Moduls \(\mathfrak R\), die der Produktregel der Differentiation \((uv) D = uD \cdot v + u\cdot vD\) genügen. Satz 1: Alle Derivationen der distributiven Algebra \(\mathfrak R\) bilden eine \(p\)-invariante Lie-Algebra linearer Transformationen \(\mathfrak D(\mathfrak R)\), die \(d\)-Algebra von \(\mathfrak R\), d. h. \(\mathfrak D(\mathfrak R)\) besteht aus linearen Transformationen eines \(\mathfrak F\)-Moduls, so daß mit \(D\) auch \(\lambda D\) und mit \(D_1\) und \(D_2\) auch \(D_1 + D_2\) und \(D_1\circ D_2= D_1D_2 - D_2D_1\), endlich im Falle \(p>0\) mit \(D\) auch \(D^p\) in \(\mathfrak D(\mathfrak R)\) enthalten ist. Wenn \(p> 0\), so ist \(D'\circ D^{p^\nu}>(\cdots(D'\circ \underbrace{D)\cdots\circ D}_{p^\nu\text{-mal}})\). Eine beliebige Lie-Algebra der Primzahlcharakteristik \(p\) wird demgemäß \(p\)-invariant genannt, wenn es für jedes Element \(x\) eine Element \(x^p\) der Algebra gibt, so daß \(y\circ x^p=(\cdots(y\circ \underbrace{x)\cdots\circ x}_{p\text{-mal}})\) ist.
Durch geschicktes Operieren mit Potenzformeln wird für beliebige assoziative Ringe der Primzahlcharakteristik \(p\) die Identität \[ (D_1 + D_2\cdots + D_r)^p = D_1^p+D_2^p\cdots+D_r^p+S \] bewiesen, worin \(S\) ein lineares Aggregat aus Kreisprodukten mit je \(p\) Faktoren ist \((x\circ y=xy- yx)\). Wenn \(\mathfrak D\) eine Lie-Algebra linearer Transformationen ist, und wenn entweder \(p=0\) oder \(0\leqq k<p\) ist, so ist jedes Produkt von \(k\) Elementen aus \(\mathfrak D\) als lineares Aggregat aus höchstens \(k\)-ten Potenzen von Elementen aus \(\mathfrak D\) ausdrückbar.
Wenn \(\mathfrak R\) eine Lie-Algebra ist, so wird jedem Element \(a\) aus \(\mathfrak R\) durch die Festsetzung \(y\to x\underline{a} =x\circ a\) eine Derivation \(\underline{a}\), die zu \(a\) gehörige innere Derivation, von \(\mathfrak R\), zugeordnet. Satz 3: Die Gesamtheit aller inneren Derivationen einer (\(p\)-invarianten) Lie-Algebra \(\mathfrak R\) ist ein (\(p\)-invariantes) Ideal \(\mathfrak I\) in \(\mathfrak D(\mathfrak R): \mathfrak I=\mathfrak R/\mathfrak C\), wobei \(\mathfrak C\) das Zentrum von \(\mathfrak R\) ist.
In Teil II werden die Derivationen einer assoziativen Algebra \(\mathfrak R\) mit endlicher Basis über \(\mathfrak F\) betrachtet. Satz 5: Bei Erweiterung des Grundkörpers \(\mathfrak F\) zum Oberkörper \(\mathfrak K\) geht die \(d\)-Algebra \(\mathfrak D\) von \(\mathfrak R\) in die \(d\)-Algebra von \(\mathfrak R_{\mathfrak K}\), über \(\mathfrak K\) genommen, über. Satz 6: Die \(d\)-Algebra einer halbeinfachen Algebra \(\mathfrak R\) ist die direkte Summe von Algebren, die isomorph zu den \(d\)-Algebren der einfachen Komponenten von \(\mathfrak R\) sind. Mit Hilfe der Brauer-Noetherschen Darstellungstheorie hyperkomplexer Algebren in Schiefkörpern wird der grundlegende Satz 7: “Wenn \(\mathfrak S\) eine halbeinfache Unteralgebra der normal einfachen Algebra \(\mathfrak R\) ist, dann kann jede Derivation von \(\mathfrak S\) zu einer inneren Derivation von \(\mathfrak R\) fortgesetzt werden”, bewiesen. Insbesondere enthält die \(d\)-Algebra \(\mathfrak R\) einer normal einfachen Algebra nur innere Derivationen. Wenn dabei die Ordnung \(n^2\) von \(\mathfrak R\) größer als 1 ist, so ist \(\mathfrak D\) halbeinfach von der Ordnung \(n^2 - 1\), ausgenommen im Falle \(p = n = 2\), in dem \(\mathfrak D\) auflösbar ist. Wenn \(p\nmid n\), so ist \(\mathfrak D\) einfach.
Wenn \(\mathfrak R\) eine inseparable Erweiterung \(p^m\)-ten Grades von \(\mathfrak F\) ist, die durch Adjunktion von \(m\) \(p\)-ten Wurzeln zu \(\mathfrak F\) entsteht, so hat \(\mathfrak D(\mathfrak R)\) die Ordnung \(mp^m\) und ist, ausgenommen im Falle \(p=2\), \(m=1\), einfach. Es gibt eine Derivation von \(\mathfrak R\) bezüglich \(\mathfrak F\), so daß sich jede beliebige Derivation aus \(\mathfrak D(\mathfrak R)\) in der Form \(D' = D\bar a_0 + D^p\bar a_1+\cdots+ D^{p^{m-1}}\bar a_{m-1}\) (\(a_i\in\mathfrak R\)) eindeutig darstellen läßt, wobei mit \(\bar a\) die Rechtsmultiplikation \(x\to xa\) bezeichnet wird. \(\mathfrak D (\mathfrak R)\) ist eine \(\mathfrak R\)-und \(p\)-invariante Lie-Algebra. Die Minimalgleichung der linearen Transformation \(D\) lautet \(f(D) = D^{p^m}-\beta_1 D^{p^{m-1}}-\beta_2 D^{p^{m-2}}-\cdots-\beta_m=0\) \((\beta_i\in\mathfrak F\)). Die gleichzeitig \(\mathfrak R\)- und \(p\)-invarianten Teilalgebren \(\mathfrak E\) von \(\mathfrak D\) und die Körper \(\mathfrak S\) zwischen \(\mathfrak F\) und \(\mathfrak R\) sind in folgender Weise einander umkehrbar eindeutig zugeordnet: \(\mathfrak S=\mathfrak R(\mathfrak E)\) ist der Körper aller Konstanten bezüglich \(\mathfrak E\), d. h. die Menge aller Elemente aus \(\mathfrak R\), für die \(xD' = 0\) für alle \(D'\) aus \(\mathfrak E\) ist. Umgekehrt besteht \(\mathfrak E=\mathfrak D(\mathfrak S)\) aus allen Derivationen von \(\mathfrak R\) bezüglich \(\mathfrak F\), die \(\mathfrak S\) annullieren, das sind genau die Derivationen von \(\mathfrak R\) bezüglich \(\mathfrak S\). Unter den erzeugenden Derivationen von \(\mathfrak E\) gibt es genau eine von der Form \(g(D) = D^{p^e}+ \varrho_1 D^{p^{e-1}}+ \cdots+\varrho_e D\) (\(\varrho_i\in\mathfrak F\)), so daß \(g(\xi)\) Teiler von \(f(\xi)\) ist, und umgekehrt (Satz 14). In Teil III wird als Analogon zu dem Hilbertschen Normensatz bewiesen, daß ein Element \(c\) aus \(\mathfrak R\) genau dann eine logarithmische Ableitung \(bD/b\) bezüglich \(D\) ist, wenn der Ausdruck \(V(c)= V_{p^m}(c) \beta_1 V_{p^{m-1}}(c)\cdots-\beta_m V_1(c)\) verschwindet, wobei \(\overline{V_{p^j}(c)}=(D+\bar c)^{p^j}-D^{p^j}\) gesetzt ist. Übrigens liegt \(V(x)\) in \(\mathfrak F\) für alle \(x\) aus \(\mathfrak R\) und es ist \(V(a+b) = V(a)+V(b)\).
Teil II Satz 13: Es sei \(\mathfrak R\) eine einfache Algebra von der Ordnung \(n^2\) über ihrem Zentrum \(\mathfrak C\) der Charakteristik \(p > 0\) und \(\mathfrak C\) entstehe durch Adjunktion von \(m\) unabhängigen Wurzeln zu \(\mathfrak F\). Dann ist die \(d\)-Algebra von \(\mathfrak R\) bezüglich \(\mathfrak F\) einfach über einfach, ausgenommen in den Fällen \(p=2\), \(n=1,2\) oder \(m=1\); aber die \(d\)-Algebra ist nicht in eine direkte Summe zerlegbar.

Reviewer: Zassenhaus, H., Dr. (Hamburg)

MSC:

17B40	Automorphisms, derivations, other operators for Lie algebras and super algebras
17B50	Modular Lie (super)algebras

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Abstrakte Algebra. B. Verbände, Ringe, Körper.