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Anwendung exponentieller Kongruenzen zum Beweis der Unlösbarkeit gewisser diophantischer Gleichungen. (German) JFM 63.0889.03

Avhdl. Norske Vid. Akad. Oslo I 1937, Nr. 12, 16 S. (1937).
Die Unlösbarkeit einer diophantischen Gleichung kann man unter Umständen beweisen, indem man eine gleichwertige exponentielle Gleichung aufstellt, für die die zugehörige Kongruenz nach einem geeigneten Modul nicht lösbar ist. Verf. führt als Beispiel die Gleichung \[ x^3 + 2y^3 = 47 \tag{1} \] an. Die Kongruenz \[ x^3 + 2y^3 = 47 \pmod m \] ist für jeden Modul \(m\) lösbar. Mit (1) ist gleichwertig die exponentielle Gleichung \[ \alpha \varepsilon^n + \varrho \alpha^\prime \varepsilon^{\prime n} + \varrho^2 \alpha^{\prime\prime} \varepsilon^{\prime\prime n} = 0 \qquad (n \text{ ganz rational}), \tag{2} \] wobei \[ \begin{matrix} \l & \l & \quad \r \;& \l \\ \;\;\varrho^2 + & \varrho + 1 = 0, & \vartheta^3 & = 2, \\ \alpha & = 3 - \vartheta + \vartheta^2, & \varepsilon & = \vartheta - 1, \\ \alpha^\prime & = 3 - \varrho\vartheta + \varrho^2 \vartheta^2, & \varepsilon^\prime & = \varrho\vartheta - 1, \\ \alpha^{\prime\prime} & = 3 - \varrho^2\vartheta + \varrho\vartheta^2, & \varepsilon^{\prime\prime} & = \varrho^2\vartheta - 1 \end{matrix} \] ist. Nun zeigt sich, daß die Kongruenz \[ \alpha \varepsilon^n + \varrho \alpha^\prime \varepsilon^{\prime n} + \varrho^2 \alpha^{\prime\prime} \varepsilon^{\prime\prime n} \equiv 0 \;(\text{mod } 1 + \vartheta) \] nicht lösbar ist. Daher ist auch (2) nicht lösbar und folglich (1) nicht in ganzen rationalen Zahlen zu befriedigen. – Verf. untersucht sodann die Frage, ob jede exponentielle Gleichung ganzzahlig lösbar ist, wenn die entsprechende Kongruenz für alle Moduln lösbar ist, und beweist in dieser Richtung: Sind \(a\), \(b\), \(h_1, \dots, h_n\), \(k_1, \dots, k_n\) ganze Zahlen eines Körpers mit der Idealklassenzahl 1, so ist \[ a h_1^{x_1} h_2^{x_2} \cdots h_n^{x_n} b k_1^{x_1} k_2^{x_2} \cdots k_n^{x_n} = 0 \] ganzzahlig lösbar, wenn die entsprechende Kongruenz für jeden Modul \(\mu\) im Körper lösbar ist. Allgemeiner gilt dieser Satz auch für Systeme zweigliedriger exponentieller Gleichungen. Die Frage für mehrgliedrige exponentielle Gleichungen bleibt offen.