Sur les fonctions indépendantes. (French) JFM 63.0946.02

Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A.

Fundam. Math., Warszawa, 29, 60-90 (1937).

Die Verf. beweisen eine Reihe von Sätzen über unabhängige Funktionen. (Vgl. M. Kac, Studia math., Lwòw, 6 (1936), 46-58; JFM 62.0273.*.)
\(H_1(t), H_2(t), \dots, H_n(t)\) sei eine Folge von im Intervall \((0,1)\) unabhängigen Funktionen. Es sei \(\int_0^1 H_i(t)\,dt = 0 \quad (i= 1, 2, \ldots, n)\). Setzt man \[ X (t) = \sum_{i=1}^n H_i(t), \quad X^*(t) = \mathop{\operatorname{Max}}\limits_{1\leqq m\leqq n}\left| \sum_{i=1}^m H_i(t)\right|, \] so gilt für jedes \(p > 1\) \[ \int_0^1\{X^*(t)\}^p\,dt \leqq 2 \left( \frac p{p-1}\right)^p\int_0^1|X(t)|^p\,dt. \] Die Verf. setzen jetzt voraus, daß \[ \int_0^1 H_\nu(t)\,dt = 0, \quad \int_0^1 H_\nu^2(t)\,dt = 1 \quad (\nu = 1,2,\ldots, n) \tag{1} \] sei, und setzen mit willkürlichen Konstanten \(b_1, b_2, \dots, b_n\) \[ X(t) = \sum_{\nu=1}^n b_\nu H_\nu(t). \] Gibt es nun eine Konstante \(\varDelta\), so daß für jedes \(\nu\) \[ \int_0^1 |H_\nu(t)|\,dt \geqq \varDelta \;\left(\int_0^1 H_\nu^2(t)\,dt\right)^{\frac 12}= \varDelta \tag{2} \] ist, so gibt es auch eine von \(n\) und den \(b_\nu\) unabhängige Konstante \(A = A(\varDelta)\), so daß \[ \int_0^1 |X|\,dt \geqq A\left(\int_0^1 X^2\,dt \right)^{\frac 12} \quad \text{ist.} \] Weiter gilt unter denselben Annahmen, wenn \(X^*(t) = \mathop{\operatorname{Max}}\limits_{1\leqq m\leqq n}\left|\sum\limits_{\varkappa=1}^m b_\varkappa H_\varkappa(t)\right|\) gesetzt ist, \[ \int_0^1 X^*(t)\,dt \leqq \bar A(\varDelta) \int_0^1 |X|\,dt. \] Sei \(\{H_\nu(t)\}\) eine Folge von unabhängigen Funktionen, für welche (1) und (2) gilt. Konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty b_\nu H_\nu(t)\) fast überall, so ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty b_\nu^2\) konvergent.
Sei weiter \(1\leqq p \leqq 2\) und \(\int_0^1 H_\nu\,dt = 0\). Es werde \(\int_0^1 |H_\nu|^p\,dt = M_\nu^{(p)}\) gesetzt. Konvergiert \[ \sum_{\nu=1}^\infty \frac{M_\nu^{(p)}}{\nu^p}, \tag{3} \] so konvergiert fast überall auch \[ \sum_{\nu=1}^\infty \frac{H_\nu(t)}\nu. \tag{4} \] Divergiert (3), so man kann eine den Annahmen genügende Folge \(H_\nu\) finden, für welche (4) divergiert.
Konvergiert ferner \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty M_\nu^{(p)}\), so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty H_\nu(t)\) fast überall.
Weiter folgt aus der Konvergenz von (3) \[ \int_0^1 \left(\mathop{\operatorname{Max}}\limits_n \left|\sum\limits_{\nu=1}^n \frac{H_\nu(t)}\nu\right|\right)^pdt \leqq C\sum\limits_{\nu=1}^\infty \frac{M_\nu^{(p)}}{\nu^p}. \] Konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty M_\nu^{(p)}\), so ist \[ \int_0^1\left(\mathop{\operatorname{Max}}\limits_n \left|\sum\limits_{\nu=1}^n \frac{H_\nu(t)}\nu\right|\right)\,dt \leqq A\int_0^1 |H_\varkappa |\log^+|H_\varkappa|\,dt + A \] für beliebiges \(\varkappa\), falls alle \(H_\nu\) dieselbe Verteilungsfunktion haben. (Darunter versteht man die Funktion \(\varphi(y) =|\underset {t} E\{H_\nu(t)\leqq y\}|\).)
Weiter gilt für unabhängige Funktionen \(H_\nu\) mit derselben Verteilungsfunktion und \(\int_0^1 H_\nu\,dt=0\):
Die Reihe \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \frac{H_\nu(t)}\nu\) konvergiert fast überall, wenn
(a) \(\int_0^1|H_\varkappa|\log^+|H_\varkappa|\,dt < \infty\) ist für jedes \(\varkappa\),
oder wenn
(b) die Verteilung symmetrisch ist, (d. h. \(\varphi(y)= \varphi (- y))\) und \[ \int_0^1 |H_\varkappa(t)|\,dt < \infty \quad \text{ist.} \] Hat die Verteilungsfunktion \(\varphi(y)\) hingegen die Eigenschaften \[ \begin{gathered} \int_{-\omega}^\omega y\,d\varphi(y) \to 0 \;\text{für} \;\omega \to \infty, \\ \int_0^1 |H_\varkappa(t)|^p\,dt = \int_{-\infty}^\infty |y|^p\,d\varphi(y) < \infty \end{gathered} \] für \(0 < p < 2\), so konvergiert für \(p \neq 1\) \[ \sum\limits_{\nu=1}^\infty \frac{H_\nu(t)}{\nu^{1/p}} \] fast überall in \(t\). Insbesondere gilt \[ \frac 1{n^{1/p}} \sum_{\nu=1}^n H_\nu(t) \to 0 . \tag{5} \] Erfüllen die \(H_\nu\) die Beziehung (5), so gehören sie zu \(L^p\).
Sei wieder \(\{H_n(t)\}\) eine Folge unabhängiger Funktionen mit \(\int_0^1 H_n\,dt = 0\). Setzt man \[ \varrho_\nu(u) = \int_{|H_\nu|>u}|H_\nu(t)|\,dt \] und \[ P_n(u) = \sum_{\nu=1}^n \varrho_\nu(u), \] und ist \(\frac 1{n^2}\int_0^n P_n(t)\,dt \to 0\), so konvergiert \(\frac 1n\sum\limits_{\nu=1}^n H_\nu(t)\) im Mittel gegen Null.
Gehören \(H_1(t), \dots, H_n(t)\) zur Klasse \(L^p\) (\(p > 1\)), so gilt mit nur von \(p\) abhängigen Konstanten \(A_p\) und \(B_p\) \[ A_p\int_0^1 \left(\sum_{\nu=1}^n H_\nu^2\right)^{\tfrac p2}dt \leqq \int_0^1 \left|\sum_{\nu=1}^n H_\nu(t)\right|^p\,dt \leqq B_p \int_0^1 \left(\sum_{\nu=1}^n H_\nu^2\right)^{\tfrac p2}dt. \]

Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.

Citations:

JFM 62.0273.*