A problem concerning the second fundamental theorem of Lie. (English) JFM 63.1000.04

Yosida, K.

Proc. Imp. Acad. Tokyo 13, 152-155 (1937); Collect. Papers Fac. Sci. Osaka Univ. A 5, Nr. 29, 4 p. (1938).

Es sei \(I\) ein Liescher Ring von Matrizen, d. h. eine Menge von Matrizen desselben Grades, die eine lineare Basis \(X_1, \ldots, X_k\) derart besitzt, daß für jedes \(X \in I\) gilt \[ X=a_1X_1+\cdots +a_kX_k \quad (a_k \;\text{reell}), \] und für die mit \(X\in I\) und \(Y \in I\) auch \(X\cdot Y - Y\cdot X \in I\) gilt. Die Gesamtheit aller Matrizen der Gestalt \[ \exp X^{(1)}\cdot \exp X^{(2)} \cdots \exp X^{(m)}, \] wobei \(X^{(1)}, \ldots,X^{(m)}\) beliebige Matrizen aus \(I\) und \(m\) eine beliebige ganze Zahl ist, bildet dann bei Hinzunahme der nichtsingulären (d. h. Det \(\neq 0\)) Häufungspunkte eine abgeschlossene Matrizengruppe \(\overline{G}\), deren Infinitesimalring \(\overline{I}\) nicht mit \(I\subset \overline{I}\) übereinzustimmen braucht. (Man vgl. hierzu K. Schröder, Deutsche Math. 4 (1939), 201-225; F. d. M. 65). Verf. zeigt, daß \(I = \overline{I}\) gilt, falls \(I\) irreduzibel ist, d.h. falls nicht alle Matrizen von \(I\) simultanen Matrizen der Gestalt \[ \begin{pmatrix} A&O\\ C& B \end{pmatrix} \] ähnlich sind.

Reviewer: Schröder, K., Dr. (Berlin)