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La théorie générale de la mesure dans son application à l’étude des systèmes dynamiques de la mécanique non linéaire. (French) JFM 63.1002.01
Während die Ergodensätze von v. Neumann, Carleman, E. Hopf und Birkhoff sich auf Strömungen mit Integralinvariante (sogenannte maßtreue Strömungen) beziehen, gelingt es den Verf., auch bei allgemeinen stetigen Strömungen in metrischen kompakten Räumen invariante Maße einzuführen und damit auch hier Ergodensätze aufzustellen.
Physikalisch treten solche Strömungen bei der Behandlung von nichtlinearen Schwingungen auf.
Als Einleitung werden eine Reihe von Definitionen und Sätzen über unendliche Folgen von Maßen vorausgeschickt. Dabei werde hier unter Maß kurz das verstanden, was nach Carathéodory als reguläre Maßfunktion bezeichnet wird.
Der zugrunde gelegte metrische Raum, der zunächst nicht notwendig kompakt zu sein braucht, sei mit \(\varOmega\) bezeichnet. Es werden nur beschränkte Maße \(\varphi (A) \;(A\subset \varOmega)\) betrachtet, so daß also \(\varphi (\varOmega)\) endlich ist. Eine Folge \(\varphi_n(n \to \infty)\) von Maßen heiße konvergent, \(\varphi_n \underset{(n)} \longrightarrow\varphi\), falls es ein Maß \(\varphi \) derart gibt, daß \[ \int\limits_\varOmega fd\varphi_n \underset{(n)} \longrightarrow \int\limits_\varOmega fd\varphi \] für jede stetige und in \(\varOmega\) beschränkte Funktion \(f\) gilt, wobei \(\int\limits_\varOmega fd\varphi_n\), \(\int\limits_\varOmega fd\varphi\) die mit Hilfe der Maße \(\varphi_n\) bzw. \(\varphi \) in der Lebesgueschen Art definierten (Radonschen) Integrale sind. Mit diesem Konvergenzbegriff läßt sich die Kompaktheit einer Menge \(M\) von Maßen definieren, und es gilt der Satz, daß jede Menge von normierten Maßen \((\varphi (\varOmega ) =1) \) kompakt ist, falls der metrische Raum kompakt ist. Ist dagegen \(\varOmega\) nicht kompakt, so gibt es stets eine nichtkompakte Folge von normierten Maßen. Ein Maß \(\varphi\) heiße Grenzmaß einer Folge \(\varphi_n(n \to \infty)\) von Maßen, falls es eine Teilfolge \(\varphi _{n_1}\underset{(n_1)} \longrightarrow \varphi\) gibt. Ist jeder Zahl \(t\) einer reellen Zahlenmenge \(\mathfrak M\) ein Maß \(\varphi_t\) in \(\varOmega\) zugeordnet, so werde \(\varphi_t\) als Maßfunktion der reellen Veränderlichen \(t\) bezeichnet. Die Funktion \(\varphi_t\) heiße in \(\mathfrak M\) stetig, falls \[ \int\limits_{\varOmega}f(P)d\varphi _t(P) \] für jede in \(\varOmega\) stetige und beschränkte Funktion \(f(P)\) eine stetige Funktion von \(t\) darstellt.
Ist \(\varphi_t\) in dem abgeschlossenen Intervall \(a\leqq t\leqq b\) stetig, und wird dieses Intervall in die \(n\) Teilintervalle zerlegt, deren Längen \(l_\nu\) sämtlich eine Zahl \(\delta > 0\) nicht überschreiten, so konvergieren die Maße \[ \varPhi_\delta(A)= \sum_{\nu=1}^n l_\nu \varphi _{\tau_\nu}(A) \] für \(\delta \to 0\) gegen ein Grenzmaß \(\vartheta\), für das \[ \int\limits_a^b[\int\limits_\varOmega f(P) \;d\varphi _t(P)] dt= \int\limits_\varOmega f(P)d\vartheta (P) \] für jede in \(\varOmega\) stetige und beschränkte Funktion \(f(P)\) gilt. \(\vartheta\) werde als Integral von \(\varphi_t\) über \(\langle a, b\rangle\) bezeichnet: \[ \vartheta =\int\limits _a^b\varphi_tdt. \] Sei nun im folgenden \(\varOmega\) ein metrischer und kompakter Raum und \(T_t\) eine einparametrige Gruppe von Automorphismen von \(\varOmega\), für die \(T_{t+s} = T_t\cdot T_s\) gilt und \(T_t (P) \) eine stetige Funktion von \((t, P)\) in \(- \infty < t < + \infty\), \(P \subset\varOmega\) ist.
Ist \(\varphi\) ein beliebiges normiertes Maß in \(\varOmega\), so definiert \[ \varphi_t(A)=\varphi (T_{-t}A) \] eine in \(t\) stetige Maßfunktion.
Die Folge der normierten Maße \(\varPhi_\tau=\dfrac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau \varphi_tdt\) besitzt alsdann mindestens ein Grenzmaß \(m\), das sich als invariantes Grenzmaß erweist: \[ m(T_sA)=m(A). \] Damit können in \(\varOmega\) die Ergodensätze von Birkhoff und von Neumann ausgesprochen werden, und es ergeben sich eine Reihe von weiteren interessanten Sätzen, über die kurz berichtet werden soll.
Ein Punkt \(P\) von \(Q\) heiße quasiregulär, wenn \[ \lim_{\tau\to\infty}\dfrac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau f(T_tP)dt \] für jede beliebige stetige Funktion in \(\varOmega\) existiert. Die Menge \(\mathfrak U\) aller quasiregulären Punkte ist invariant, \(T_t \mathfrak U = \mathfrak U\), und besitzt maximale Wahrscheinlichkeit, d. h. für jedes in \(\varOmega\) invariante Maß \(m\) gilt \(m (\varOmega - \mathfrak U) =0\).
Versteht man unter \(m_P(A)\) das durch \[ m_P(A)=\begin{cases} 1\;\;\text{für} \;\;P\subset A\\ 0\;\;\text{für} \;\;P\subset \varOmega- A\\ \end{cases} \] definierte normierte Maß, und setzt man \[ m_P^\tau(A) = \dfrac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau m_P(T_tA)dt, \] so soll ein Grenzmaß \(\varphi_P\) der Folge \(m_P^\tau (\tau \to \infty)\) als individuelles, dem Punkte \(P\) zugeordnetes Maß bezeichnet werden. Für die quasiregulären Punkte gilt \[ m_P^\tau \underset{(\tau)} \longrightarrow \varphi_P. \]
Der quasireguläre Punkt \(P\) heiße transitiv, falls \(\varphi_P\) ein transitives Maß ist, d. h. falls \(\varOmega\) nicht in zwei invariante \(\varphi_P\)-meßbare punktfremde Mengen \(\varOmega_1\) und \(\varOmega_2\) zerspalten werden kann, für die \(\varphi _P(\varOmega_1) > 0\), \(\varphi _P(\varOmega_2) > 0\) ist.
Ein quasiregulärer Punkt \(P\) heiße weiterhin dicht, falls für jedes Sphäroid \(S^\delta _P\) (Menge aller Punkte von \(\Omega\), deren Distanz von \(P\) den Wert \(\delta\) nicht überschreitet) gilt, daß \(\varphi_P(S_P^\delta) > 0\) ist.
Ein Punkt \(P\), der gleichzeitig transitiv und dicht ist, werde als regulär bezeichnet. Die Menge \(\operatorname{Re}\) aller regulären Punkte ist invariant und besitzt maximale Wahrscheinlichkeit.
Zwei reguläre Punkte \(P\) und \(Q\), für die \(\varphi_P= \varphi_Q\) ist, heißen von gleichem ergodischem Charakter. Eine Menge \(\mathfrak C\subset \operatorname{Re}\) heiße eine ergodische Menge, falls alle ihre Punkte den gleichen ergodischen Charakter haben, und falls man nicht weitere reguläre Punkte hinzufügen kann, ohne diese Eigenschaft zu stören. Jeder Punkt gehört genau einer ergodischen Mannigfaltigkeit an. Jede ergodische Menge ist invariant. Seien \(\mathfrak C_1, \mathfrak C_2, \ldots, \mathfrak C_n\) ergodische Mengen. Die ihnen zugeordneten individuellen Maße seien mit \(\varphi_{\mathfrak C_1}, \varphi_{\mathfrak C_2}, \ldots, \varphi_{\mathfrak C_n} \) bezeichnet. Die Menge aller normierten Maße \[ c_1\varphi _{\mathfrak C_1} + c_2\varphi_{\mathfrak C_2}+\cdots + c_n\varphi_{\mathfrak C_n},\quad c_k \geqq 0, \;c_1 + c_2 +\cdots + c_n = 1 \] und ihrer Grenzfunktionen sei als Convex \(\operatorname{Co}\varphi_{\mathfrak C}\) bezeichnet. Jedes normierte invariante Maß gehört dann zu \(\operatorname{Co}\varphi_{\mathfrak C}\), und umgekehrt ist jedes Maß von \(\operatorname{Co}\varphi_{\mathfrak C}\) ein normiertes invariantes Maß, so daß jedes invariante Maß in einem gewissen Sinne nach den \(\varphi_{\mathfrak C}\) “entwickelt” werden kann. (IV 3 B, VI 3.)

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