×

zbMATH — the first resource for mathematics

On rings of operators. II. (English) JFM 63.1008.03
Fortsetzung der Arbeit der gleichen Autoren, Ann. Math., Princeton (2) 37 (1936), 116-229 (JFM 62.0449.*; hier zitiert als R. O. I). Es werden für Faktoren \(\boldsymbol M\) im Falle \(II_1\) weitere Eigenschaften der Spur \(Tr_M(A)\) und Isomorphismen zwischen \(\mathfrak H\), \(\boldsymbol M\) und \(\boldsymbol M'\) angegeben.
\(Tr_{\boldsymbol M}(A)\) wird für alle \(A\in\boldsymbol M\) erklärt, und es wird in den Fällen \(I_n\) und \(II_1\) mittels zweier Extremalprobleme nachgewiesen, daß mit passenden \(g_i\in\mathfrak H\) \[ Tr_{\boldsymbol M}(A) = \sum\limits_{i=1}^m(Ag_i, g_i)\qquad (A \in\boldsymbol M) \tag{1} \] ist (Teil III). Statt (1) wird zunächst ein Näherungsausdruck gewonnen (Teil I), aus dem bereits einige Folgerungen gezogen werden (Teil II). Im Falle \(II_1\) mit \(C\leqq1\) (vgl. R. O. I, Satz X) gilt (1) sogar mit \(m = 1\). Aus (1) folgt nun ohne Einschränkung die Additivität der Spur und ihre schwache Stetigkeit in \(A\).
In Teil IV wird der früher (R. O. I Kap. XVI) eingeführte Ring unbeschränkter Operatoren \(U(\boldsymbol M) \supset\boldsymbol M\) weiter untersucht. Es sei \(Q_f(\boldsymbol M)\) für \(f\in\mathfrak H\) die Menge der \(Z\in U(\boldsymbol M)\), für die \(Zf\) Sinn hat, also \(\boldsymbol M \subset Q_f(\boldsymbol M)\subset U(\boldsymbol M)\); unter einschränkenden Voraussetzungen für \(f\) wird \(Q_f(\boldsymbol M)\) durch \(Zf = h\) eineindeutig auf \(\mathfrak H\) abgebildet. \(\boldsymbol Q_f(\boldsymbol M) = Q(\boldsymbol M)\), das als unabhängig von \(f\) erkannt wird, erscheint so als Hilbertscher Raum mit dem inneren Produkt \(Tr_{\boldsymbol M}(XY^*)\) und ist isomorph zu \(\mathfrak H\) und zu \(Q(\boldsymbol M')\); umgekehrt erscheint \(\mathfrak H\) als Teilmenge eines Ringes. Die gewonnene Abbildung \(A \to A'\) zwischen \(Q(\boldsymbol M)\) und \(Q(\boldsymbol M')\) führt \(\boldsymbol M\) in \(\boldsymbol M'\) über, und zwar ist \[ (A + B)' = A'+ B',\quad (AB)' = B'A',\quad {A^*}' = {A'}^*,\quad (\alpha A)' = \alpha A' \] (\(\alpha\) komplex). – Im Anhang wird eine Matrizendarstellung von \(\boldsymbol M\) behandelt, die jedem \(X\in\boldsymbol M\) eine totaladditive Mengenfunktion von zwei Veränderlichen zuordnet. – Eine Fortsetzung der Untersuchungen wird angekündigt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI