×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur la stabilité des solutions du problème de Dirichlet. (Russian. French summary) JFM 63.1040.03
Der französische Auszug, der identisch mit der in C. R. Acad. Sci., Paris, 204, 1788-1790 (JFM 63.0454.*) veröffentlichten Note ist, ist stellenweise unklar und unvollständig. Aus dem russischen Text ergibt sich nunmehr folgendes: Verf. behandeln das Dirichletsche Problem in dreidimensionalen Bereichen \(D\), welche von einfachen, geschlossenen Jordanflächen \(S\) begrenzt werden. Sie denken sich den Bereich \(D\) gleichmäßig approximiert durch zwei Folgen von Bereichen mit analytischen Oberflächen, von denen die ersten ganz außerhalb und die zweiten ganz innerhalb von \(\overline{D} = D + S\) liegen. Die Lösungen des Dirichletschen Problems für die einzelnen Bereiche der beiden Folgen mit den durch eine beliebige stetige Funktion \(\varphi (x, y, z)\) bestimmten Randwerten konvergieren je gegen eine in \(D\) harmonische Funktion \(U(P; \varphi )\) und \(u(P; \varphi )\).
Der Randpunkt \(Q\) des Randes \(S\) von \(D\) heißt “regulär bezüglich des Dirichletschen Problems”, wenn die innere Grenzfunktion \(u(P; \varphi )\) für jede Annäherung \(P\to Q\) (\(P\) in \(D\)) und für jede stetige Funktion \(\varphi \) gegen \(\varphi (Q)\) konvergiert. Sind alle Randpunkte regulär, so ist offenbar \(u(P; \varphi )\) gleichmäßig stetig in \(D\) und Verf. nennen dann das Dirichletsche Problem “immer möglich in \(D\)”. Ferner heißt ein Punkt \(P\) von \(D\) ein “Punkt der Stabilität für das Dirichletsche Problem”, wenn \(u(P; \varphi )=U(P; \varphi )\) ist für jede beliebige stetige Funktion \(\varphi \); bei einem Randpunkt muß außerdem \(U(P; \varphi )\) in \(P\) stetig den Randwert \(\varphi (P)\) annehmen. Gibt es einen Punkt der Stabilität im Innern, so folgt dasselbe für alle Punkte des Innern und Verf. nennen das Dirichletsche Problem “stabil im Innern von \(D\)”. Ist jeder Randpunkt ein Punkt der Stabilität, so konvergiert die innere Funktionenfolge gleichmäßig gegen die Randfunktion \(\varphi \) auf \(S\) und das Dirichletsche Problem heißt “stabil im abgeschlossenen Gebiet \(\overline{D}\)”.
Verf. leiten auf Grund dieser Definitionen eine Reihe von interessanten Resultaten her, unter denen besonders die Konstruktion eines Gebietes \(D\) genannt sein soll, welches von einer Jordanfläche beschränkten Inhalts begrenzt wird, derart, daß das Dirichletsche Problem in \(D\) zwar “immer möglich”, aber “instabil im Innern von \(D\)” ist. Ob das Dirichletsche Problem in \(D\) stabil ist oder nicht, hängt davon ab, ob das harmonische Maß der nicht stabilen Punkte des Randes Null oder verschieden von Null ist. Die Stabilität eines Randpunktes hängt offenbar nur von dem Verhalten der Randfläche in der Umgebung des Punktes ab; Verf. geben ein interessantes Kriterium dafür. Schließlich werden die Resultate auf das Problem der gleichmäßigen Approximierung einer in \(\overline{D}\) stetigen und in \(D\) harmonischen Funktion durch harmonische Polynome angewandt. (Vgl. die nachstehend besprochene Arbeit.)
MSC:
31-XX Potential theory
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: MNR