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Remarque sur la loi du logarithme itéré. (French) JFM 63.1076.03

Nach A. Kolmogoroff (Math. Ann., Berlin, 101 (1929), 126-135; JFM 55.0298.*) gilt folgendes sogenannte Gesetz des iterierten Logarithmus: Sei \(X_1\), \(X_{2}\),…, \(X_{n}\),…eine Folge von unabhängigen und beschränkten stochastischen Veränderlichen, deren Mittelwert 0 und deren Streuungen \(b_{n}\) seien. Ferner sei \[ B_n=b_1+b_2+\dots +b_n,\quad M_n=\underset{\nu \leqq n}{\text{Max}}\,|\,X_\nu \,|. \] Dann ist die Wahrscheinlichkeit der Beziehung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill \varlimsup_{n\to\infty }\frac{|\textstyle \sum\limits_{\nu =1}^{n} X_\nu \displaystyle \,|}{\sqrt{2B_n\,\log\,\log\,B_n}} =1\hfill} \] gleich 1, falls \(M_n=o\bigl(\sqrt{B_n/\log\,\log\,B_n}\bigr)\).
Verf. zeigen, daß diese letzte Bedingung nicht verschärft werden kann, indem sie eine Folge von unabhängigen und beschränkten stochastischen Veränderlichen \(X_{n}\) aufweisen, die der Bedingung \[ M_n=O\;\bigl(\sqrt{B_n/\log\,\log\,B_n}\bigr) \] genügen, und für die die Wahrscheinlichkeit der Beziehung (*) gleich 0 ist.

Citations:

JFM 55.0298.*
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Full Text: EuDML