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The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance. (English) JFM 63.1098.02

Ein empirisches Zahlenmaterial sei nach irgendwelchen Einteilungsgesichtspunkten in \(n\) Zeilen und \(p\) Kolonnen geordnet. Verf. schlägt ein bequemes Verfahren vor, um die Hypothese zu prüfen, ob die \(p\) Beobachtungen einer jeden Zeile dem gleichen Kollektiv entstammen. Dabei werden keine speziellen Annahmen über die Verteilungen der Merkmale gemacht.
Das Merkmal \(x\) der Elemente eines Kollektivs sei entweder kontinuierlich oder einer großen Anzahl diskreter Werte fähig. Dem Kollektiv werden \(n\) Serien zu je \(p\) Ziehungen entnommen. Es wird angenommen, daß die Merkmalwerte \(x_{i,1}, \,x_{i,2}, \ldots \!, x_{i,p}\) der \(i\)-ten Serie \((i = 1, \,2, \ldots \!, n)\) alle von einander verschieden sind. Dem kleinsten \(x_{i,j}\) dieser Serie wird die Zahl 1, dem zweitkleinsten die Zahl 2,... dem größten die Zahl \(p\) zugeordnet. Auf diese Weise entspricht jeder der \(n\) Serien eine Permutation der Zahlen \(1, \,2, \ldots \!, p\). Die \(n\) Permutationen werden untereinander geschrieben und der Mittelwert der in der \(j\)-ten Kolonne stehenden Zahlen mit \(\overline{r}_j\) bezeichnet. Verf. bildet die Größe \[ \chi_r^2=\frac{12n}{p \,(p+1)} \sum_{j=1}^{p} \left\{ \overline{r}_j - \frac{1}{2} \,(p+1) \right\}^2 \] und beweist, daß für nicht zu kleine \(n\) und \(p\) die Verteilung von \(\chi_r^2\) sich wenig von der Verteilung des Pearsonschen \(\chi^2\) mit \(p - 1\) Freiheitsgraden unterscheidet. Die genaue Verteilung von \(\chi_r^2\) für \(p = 3\), \(n = 2, \,3, \ldots \!, 9\) und \(p = 4\), \(n = 2, \,3, \,4\) ist in Tabellenform wiedergegeben.
An der Verteilung von \(\chi_r^2\) ändert sich offenbar nichts, wenn jede Serie aus einem anderen Kollektiv entnommen wird, aber alle Ziehungen der gleichen Serie einem und demselben Kollektiv entstammen.

MSC:

62G10 Nonparametric hypothesis testing
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