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Planar graphs whose homeomorphisms can all be extended for any mapping on the sphere. (English) JFM 63.1158.05

\(G\) sei ein Graph, der sich auf die Kugelfläche \(S\) legen läßt. Verf. behandeln die Frage, wann sich jeder Autohomöomorphismus von \(G\) bei jeder Einbettung in \(S\) zu einer topologischen Abbildung von \(S\) auf sich erweitern läßt. Dabei spielen eine Rolle die Randkreise (bounding circuits) von \(G\), d. h. Kreise, die bei wenigstens einer Einbettung von \(G\) in \(S\) Gebietsgrenze sind, und unter ihnen die Spaltkreise (split circuits), die auch bei wenigstens einer Einbettung nicht Gebietsgrenze sind. Beide lassen sich unabhängig von der Einbettung kennzeichnen: Ist \(J\) ein Randkreis und sind \(N_1\), \(N_2\) zwei maximale zusammenhängende Teilmengen von \(G - J\), so gehören die Durchschnitte \(\overline N_1J\) und \(\overline N_2J\) zu zwei bis auf die gemeinsamen Endpunkte zueinander fremden Teilbogen von \(J\); ist \(J\) ein Spaltkreis, so gibt es sicher zwei nicht leere Bestandteile \(N_1\), \(N_2\) von \(G - J\). Wenn \(G\) einen Spaltkreis enthält, gibt es bei jeder Einbettung in \(S\) zwei Gebietsgrenzen mit nicht zusammenhängendem Durchschnitt.
Verf. zeigen: Dann und nur dann kann jeder Autohomöomorphismus eines zyklisch zusammenhängenden Graphen \(G\) bei jeder Einbettung in \(S\) zu einer topologischen Abbildung von \(S\) auf sich erweitert werden, wenn für jeden Spaltkreis \(J\) bei jedem Autohomöomorphismus \(\sigma (G)\) mit \(\sigma (J)\neq J\) die Mengen \(G - J\) und \(J\) \(\sigma (J)\) je aus genau zwei maximalen zusammenhängenden Teilmengen bestehen. Es ergeben sich genauere Aussagen über die kombinatorische Struktur von \(G\) und die Gruppe der Autohomöomorphismen, z. B.: die Gruppe besteht aus höchstens vier Elementen, die – abgesehen von der Identität – alle die Ordnung 2 haben.
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