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Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen. (German) JFM 63.1161.02
Es handelt sich um die Abbildungen der Sphäre \(S^{d+k}\) auf die Sphäre \(S^d\) mit \(k > 0\) (oberer Index \(=\) Dimension). Die folgenden beiden Begriffe liegen der Untersuchung zugrunde: (1) die ganzzahlige Klassen-Invariante \(\mathfrak c(f)\), die für \(k = d + 1\) vom Referenten jeder Abbildung \(f\) der genannten Art zugeordnet worden ist (Math. Ann. 104 (1931), 637-665; Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 427-440; JFM 57.0725.*, 61\(_{\text{I}}\), 622), und die außerdem für \(d < k + 1\) gleich 0 gesetzt wird; (2) die Operation \(\mathfrak E\) (“Einhängung”), die jeder Abbildung \(f\) von \(S^m\) in \(S^n\) eine Abbildung \(\mathfrak Ef\) von \(S^{m+1}\) in \(S^{n+1}\) zuordnet: Man faßt \(S^m\) und \(S^n\) als Äquatoren von \(S^{m+1}\) bzw. \(S^{n+1}\) auf, übt \(f\) aus, ordnet Nord- und Südpol von \(S^{m+1}\) die Pole von \(S^{n+1}\) zu und bildet jeden Meridian-Quadranten von \(S^{m+1}\) proportional auf den entsprechenden Meridian-Quadranten von \(S^{n+1}\) ab. – Die Hauptergebnisse der inhaltsreichen Arbeit sind die folgenden Sätze:
I. Es sei \(d\geqq k+1\). Die folgenden drei Eigenschaften von \(f\) sind äquivalent: (a) \(\mathfrak c(f) = 0\); (b) es gibt eine zu \(f\) homotope Abbildung \(f_0\), bei welcher das Urbild \(f_0^{-1}(p)\) eines gewissen Punktes \(p\in S^d\) ein einziger Punkt ist; (c) es gibt eine Abbildung \(g\) von \(S^{d+k-1}\) in \(S^{d-1}\), für welche \(\mathfrak Eg\) mit \(f\) homotop ist.
II. Die Umkehrung des trivialen Satzes, daß aus der Unwesentlichkeit von \(f\) die Unwesentlichkeit von \(\mathfrak Ef\) folgt, ist zwar im allgemeinen nicht richtig; jedoch gilt: \(f\) sei wesentlich, und es sei entweder \(d = k +1\) und \(\mathfrak c(f)\) ungerade oder \(d=k+1\equiv 0\mod 2\) und \(\mathfrak c(f) = 0\) oder \(d>k+ 1\); dann ist auch \(\mathfrak Ef\) wesentlich.
III. Man fasse die Abbildungsklassen zu Hurewiczschen Homotopie-Gruppen zusammen; dann ist \(\mathfrak c(f)\) ein Charakter der Gruppe \(\pi _{d+k}(S^d)\) und \(\mathfrak E\) ein Homomorphismus von \(\pi _{d+k}(S^d)\) in \(\pi _{d+k+1}(S^{d+1})\). Es gilt: Ist \(d\geqq k +1\) oder \(d=k\equiv 0\mod 2\), so ist \(\mathfrak E\) ein Homomorphismus auf \(\pi _{d+k+1}(S^{d+1})\); und für \(d\geqq k+2\) ist \(\mathfrak E\) überdies eineindeutig, woraus folgt: bei festem \(k\) sind für \(d\geqq k + 2\) alle Gruppen \(\pi _{d+k}(S^d)\) untereinander isomorph.
IV. Für \(k =\) 1, 3, 7 und \(d\geqq k+1\) gibt es wesentliche Abbildungen von \(S^{d+k}\) auf \(S^k\).
V. Die Gruppen \(\pi _{d+1}(S^d)\) haben für \(d\geqq 3\) die Ordnung 2. Die Gruppe \(\pi _{d+2}(S^d)\) enthält für \(d = 2\) genau zwei, für \(d > 2\) höchstens zwei Elemente.
Zu V vgl. man die Mitteilung von Pontrjagin (C. R. Congr. internat. Math., Oslo 1936, 2 (1937), 140; JFM 63.0572.*).

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Full Text: EuDML